《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）4.2 线性方程组解的结构

§42线性方程组解的结构 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组(49)的矩阵形式为 (4.10) 其中 0 m×n9 n

§4.2 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组（4.9）的矩阵形式为 Ax = O (4.10) 其中 A ( ) , x , O ,               =               =  = 0 0 0 2 1   n i j m n x x x a

它的解有下面性质: 性质1如果v1,2是齐次线性方程组(49) 的解,则v1+n2也是它的解 性质2如果ν是齐次线性方程组(49)的 解,则cν也是它的解(c是实数) 性质3如果p,v2,…,v都是齐次线性方程 组(49)的解,那么其线性组合c1v1+c22+ +csv也是它的解其中c1c2,…,c是任意常数

它的解有下面性质： 性质1 如果 v1 ,v2 是齐次线性方程组（4.9） 的解，则 v1＋v2也是它的解. 性质2 如果 v 是齐次线性方程组（4.9）的 解，则 cv 也是它的解（c是实数）. 性质3 如果 v1 ,v2 , ···, vs 都是齐次线性方程 组（4.9）的解，那么其线性组合 c1v1＋c2v2+··· +csvs 也是它的解. 其中c1 ,c2 , ···, cs 是任意常数

方程组(49)的一个解可看作一个n维向量,称为解 向量.如果齐次线性方程组有非零解存在,则它就有无 穷多个解,这无穷多个解就构成了一个n维向量组如 果我们能求出这个向量组的一个极大无关组,则齐次 线性方程组的全部解就可由这个极大无关组线性表示 定义如果v,n2…,是齐次线性方程组(4.9)的 解向量组的一个极大无关组,则称v,2,…,w是方程组 (4.9)的一个基础解系

方程组(4.9)的一个解可看作一个n 维向量, 称为解 向量. 如果齐次线性方程组有非零解存在, 则它就有无 穷多个解, 这无穷多个解就构成了一个n 维向量组.如 果我们能求出这个向量组的一个极大无关组，则齐次 线性方程组的全部解就可由这个极大无关组线性表示. 定义 如果 v1 ,v2 , ··· ,vs 是齐次线性方程组(4.9)的 解向量组的一个极大无关组, 则称v1 ,v2 , ···,vs是方程组 (4.9)的一 个基础解系

定理43如果齐次线性方程组(49)的系数矩阵的 秩数r(4)=r<n,则方程组的基础解系存在,且每个基础 解系中,恰含有n-r个解 证明由已知r(AO=,那么r(4O)=r(4)<m,所 以对(4O)施以初等行变换一定可以化为下面形式 10 0k1+k l,r+2 kin 0 01 0 k 2r+1 2.r+2 0 00 k o rI +2 00 00 00 00

定理4.3 如果齐次线性方程组(4.9)的系数矩阵的 秩数r(A)=r ＜n,则方程组的基础解系存在,且每个基础 解系中,恰含有 n – r 个解. 证明 由已知r(AO)=r，那么r(AO) =r (A) ＜n ，所 以对(AO)施以初等行变换一定可以化为下面形式                       + + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 , 1 , 2 2, 1 2, 2 2 1, 1 1, 2 1                         r r r r r n r r n r r n k k k k k k k k k

即方程组与下面的方程组同解: 1,r+1r+1 k n°n 2,r+1r+1 ann k x 其中x1,xA+2…,x,.自由未知量 对上面n-r个自由未知量分别取 +2

       = − − − = − − − = − − − + + + + + + . , , , , , r r r r r n n r r n n r r n n x k x k x x k x k x x k x k x     1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 即方程组与下面的方程组同解： 其中xr+1 , xr+2, ···, xn为自由未知量. 对上面 n-r 个自由未知量分别取                                           =               + + 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 2 1      n r r x x x

得到齐次线性方程组(49)的n个解 kr+ k r+2 k2 ,r+1 k 2,r+2 k2 k r,r+2 0 0 0 现在证明v,V2,…,Vn就是齐次线性方程组(49) 的一个基础解系

v , v , , v . , , , , , ,                           − − − =                           − − − =                           − − − = − + + + + + + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1        r n n n n r r r r r r r r r k k k k k k k k k 得到齐次线性方程组（4.9）的 n-r 个解. 现在证明 v1 , v2 , ···, vn-r 就是齐次线性方程组（4.9） 的一个基础解系

先证v,v2,…,vn,是线性无关的 ● 设c1v1+c22+ 0 n-r.n-7 即 1.r+1 1,r+2 k r ,r+2 k. r.r+ r.r+ 2 ∴+C 0. n-I 0 于是可得c1=c2=…=CnF=0所以v,2,…,"n,线性无关

. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 , 2 2, 2 1, 2 2 , 1 2, 1 1, 1 1 = 0                           − − − + +                           − − − +                           − − − − + + + + + +        r n n n n r r r r r r r r r k k k c k k k c k k k c 先证v1 , v2 , ···, vn-r是线性无关的. 设 c1v1 + c2v2 + ··· + cn-rvn-r = 0. 即 于是可得 c1= c2 = ··· = cn-r= 0.所以 v1 ,v2 , ···,vn-r 线性无关

再证齐次线性方程组(49)的任意一个解 都是v1,n2,…,vn线性组合 因为 kr+dr+1 -Kr+2d,+2..kind ,+1r+12,+2r+2 一K2n r,r+1r+1 r,r+20r+2

       = − − − − = − − − − = − − − −               = + + + + + + + + + + + + . , , v , , , , , , r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n n d k d k d k d d k d k d k d d k d k d k d d d d      1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 再证齐次线性方程组（4.9）的任意一个解 都是 v1 , v2 , ···, vn-r 线性组合. 因为

+14r+1 k 1,r+2 +2 kind 2,r+1 ,r+2 r,r+1 r,+2cr+2 d r+1 0 0 d r 0 0

                          −  −  −  −  −  −  −  −  −  = + + + + + + + + + + + + + + n r r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n d d d k d k d k d k d k d k d k d k d k d 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1          , , , , , , v

k 1,r+1 k, ,r+2 kI 2,r+1 2,r+2 2n r,r+1 k +2 k r+1 td r+2 ……· 0 0 0 0 0 11+ 22 即v是v,,…,"n的线性组合

v v v . , , , , , , r r n n r r n n n n r r r r r r r r r r d d d k k k d k k k d k k k d + + − + + + + + + + + = + + +                           − − − + +                           − − − +                           − − − =         1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 即 v 是 v1 , v2 , ···, vn-r 的线性组合