3.7函数的凸性和曲线的拐点、渐近线 、函数的凸性和曲线的拐点 前面我们已经讨论了函数的单调性和极值,这对于 我们了解函数的性态及函数的作图都很有帮助,但这还不 能全面反映函数图形的主要特性,例如函数曲线弯曲的方 向该如何描述?下面给出函数凸性的概念 定义33设函数f(x)在(a,b)上连续, (1)如果x,x2∈(a,b)及∈(0,1),都有 fAx1+(1-)x2]yf(x1)+(1-1)f(x2) 则称f(x)在(a,b)上为上凸
3.7 函数的凸性和曲线的拐点、渐近线 一、函数的凸性和曲线的拐点 前面我们已经讨论了函数的单调性和极值，这对于 我们了解函数的性态及函数的作图都很有帮助，但这还不 能全面反映函数图形的主要特性，例如函数曲线弯曲的方 向该如何描述？下面给出函数凸性的概念. 定义3.3 设函数 上连续， ⑴如果 都有 则称 上为下凸， ⑵如果 都有 则称 上为上凸. f (x)在(a,b) x1 , x2 (a,b)及(0,1)， [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x f (x)在(a,b) x1 , x2 (a,b)及(0,1)， [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x f (x)在(a,b)
我们先来观察一下上述定义反映的几何性质 f(x) v= f(x 图-13 图3-14
我们先来观察一下上述定义反映的几何性质. y = f (x) y = f (x)
在图3-13和图3-14中,Ax1+(1-4)x2是区间(x12x2)内的 点,八x1+(1-4)x2]是曲线y=f(x)上对应于点 x1+(1-1)x2的高度,而0(x1)+(1-)f(x2)则是割线AB 上对应于点ax1+(1-1)x2的高度,定义告诉我们,如果连续 曲线上任意两点的割线线段都在该两点间的曲线弧之上 那么该段曲线弧称为下凸的,反之则称为上凸的.我们也 可以从另外一个方面来理解凸性概念:下凸弧上过任一点 的切线都在曲线弧之下,而上凸弧上过任一点的切线都在 曲线弧之上,如图3-15所示 15
在图3-13和图3-14中， 是区间 内的 点， 是曲线 上对应于点 的高度，而 则是割线 上对应于点 的高度，定义告诉我们，如果连续 曲线上任意两点的割线线段都在该两点间的曲线弧之上， 那么该段曲线弧称为下凸的，反之则称为上凸的. 我们也 可以从另外一个方面来理解凸性概念：下凸弧上过任一点 的切线都在曲线弧之下，而上凸弧上过任一点的切线都在 曲线弧之上，如图3-15所示. 1 2 x + (1− )x ( , ) 1 2 x x [ (1 ) ] 1 2 f x + − x y = f (x) 1 2 x + (1− )x ( ) (1 ) ( ) 1 2 f x + − f x AB 1 2 x + (1− )x
下面我们通过函数的二阶导数来刻画函数的凸性: 定理310设f(x)在(a,b)上具有二阶导数, ()如果在(a,b)内f(x)>0,则y=f(x)在(ab)内为下凸, (2)如果在(a,b内f(x)<0,则y=f(x)在(a,b)内为上凸 证(1)x1,x2∈(a,b),且x1<x2,V∈(0,1) x0=x1+(1-)x2则x<x<x2 由拉格朗日中值定理,得 f(x)-f(x)=f(51)(x0-x1)51∈(x,2x0),(3-4) f(x2)-f(x)=f(2)x2-x0)252∈(x2x2),(3-5) (1-4)x(3-5)式-×(3-4)式,得: (1-A)f(x2)-f(x0)-Lf(x)-f(x1) =(1-)(2)(x2-x0)-f(51)(x0-x1)
下面我们通过函数的二阶导数来刻画函数的凸性： 定理3.10 设 f (x) 在 (a,b) 上具有二阶导数， ⑴如果在 则 内为下凸， ⑵如果在 则 内为上凸. (1) , ( , ), , (0,1). x1 x2 a b 且x1 x2 (1 ) , . 0 1 2 1 0 2 x = x + − x 则x x x f (x0 ) − f (x1 ) = f '( 1 )(x0 − x1 ), 1 (x1 , x0 )， （3− 4） f (x2 ) − f (x0 ) = f '( 2 )(x2 − x0 ), 2 (x0 , x2 )， （3−5） (1−)(3−5)式−(3−4)式，得： (1 ) '( )( ) '( )( ) . (1 )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 0 1 0 1 2 0 0 1 f x x f x x f x f x f x f x = − − − − − − − − y = f (x)在(a,b) (a,b)内f (x) 0, (a,b)内f (x) 0, y = f (x)在(a,b) 由拉格朗日中值定理，得 记 证
f(x1)+(1-A)f(x2)-[+(1-A)f(x (1-A)(2)-f(51)(x2-x) (x10,53∈(ab), 又因为>0,1->0,92-51>0,x2-x1>0, 由(36)及(3-7)两式得
( ) (1 ) ( ) [ (1 )] ( ) 1 2 0 f x + − f x − + − f x (1 )[ '( ) '( )]( ) 2 1 2 1 = − f − f x − x ( ) (3 6) x1 1 x0 2 x2 − 在[ 1 , 2 ]上对 f '(x) 运用拉格朗日中值定理，得： '( ) '( ) ''( )( ) , ( , ) (3 7) f 2 − f 1 = f 3 2 −1 3 1 2 − ''( ) 0, ( , ) , f 3 3 a b 0,1 0, 0, 0 , − 2 −1 x2 − x1 ( , ) ( , ) ( , ) 3 1 2 x1 x2 a b 由(3-6)及(3-7)两式,得: 又因为 所以 因为 ，由已给条件
1f(x)+(1-4)f(x2)-f(x0)>0, 所以f(x0)<f(x1)+(1-4)f(x2), 即4x+(1-)x2]<(x1)+(1-4)f(x2), 由定义33,f(x)在(a,b)内为下凸 同理可证(2)
由定义3.3, 在( )内为下凸. 同理可证⑵. f (x) a,b ( ) (1 ) ( ) ( ) 0 , f x1 + − f x2 − f x0 ( ) ( ) (1 ) ( ) , 0 1 2 f x f x + − f x [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) , 1 2 1 2 即 f x + − x f x + − f x 所以
定义3设点M(x,f(x)为曲线y=f(x)上一点若 曲线在M点两侧有不同的凸性,则称点M为曲线y=f(x) 的一个拐点 例1求曲线f(x)=x-6x3+12x2-10x+4 的凸性区间与拐点 解f(x)=4x3-18x2+24x-10, ∫"(x)=12x2-36x+24=12(x-1)(x-2) 令∫"(x)=0,解得x=1,x=2,它们将定义域 (-0,+∞)分成三个子区间,列表3-6讨论如下 表36 x (1,2) f"(x) 0 U 200
定义3.4 设点 为曲线 上一点,若 曲线在 点两侧有不同的凸性,则称点 为曲线 ( , ( )) 0 0 M x f x y = f (x) y = f (x) 令 ,解得 它们将定义域 ( )分成三个子区间，列表3-6讨论如下： ( ) 6 12 10 4 4 3 2 f x = x − x + x − x + '( ) 4 18 24 10 , 3 2 f x = x − x + x − ''( ) 12 36 24 12( 1)( 2) 2 f x = x − x + = x − x − f ''(x) = 0 x = 1, x = 2, −,+ 的一个拐点. M M 例1 求曲线 的凸性区间与拐点. 解 x (−,1) (2,+) f ''(x) f (x) 1 （1，2） 2 + 0 - 0 + 1 0 表3-6
从表中得知(-∞,1)和(2,+∞)是f(x)的下凸区间, (1,2)是它的上凸区间,曲线上(1,1),(2,0)两 点为拐点如图3-16所示 图3-16 1 2
图3-16 从表中得知 是 的下凸区间， （1，2）是它的上凸区间，曲线上（1，1），（2，0）两 点为拐点.如图3-16所示. (−,1)和(2,+) f (x)
例2求曲线f(x)=xx+1的凸性区间与拐点 解 f(x)=x+1+ 3.(x+1) 2x 2(2x+3) 3V(x+1)3.(x+1)29·(x+1)9·乳(x+ 当x=-1时,f(x)不存在,(-2)=0,x=-1和x=-3 将定义域(-∞,+∞)分成三个子区间,列表3-7讨论如下: X +0 表37y"(x) 不存在 f(x)∪ 3.34 4
例2 求曲线 的凸性区间与拐点. 3 f (x) = x x +1 当 时， 不存在， 将定义域 分成三个子区间，列表3-7讨论如下： 3 2 3 3 ( 1) '( ) 1 + = + + x x f x x 3 2 3 2 3 5 3 5 9 ( 1) 2(2 3) 9 ( 1) 2 3 ( 1) 1 3 ( 1) 1 ''( ) + + = + − + + + = x x x x x x f x 2 3 ) 0, 1 2 3 x = −1 f (− = x = − 和x = − (−,+) f ''(x) 解 表3-7 , 1) 2 3 x (− − (−1,+) ) 2 3 (−,− 2 3 − f ''(x) f (x) 4 3 4 3 -1 + 0 - 不存在 + 0
从表中得知(-∞,-3)和(-1,+∞)是f(x)的下 凸区间, 是它的上凸区间曲线上两 点(3,34和(-10)为拐点,如图317所示 4 4 -2 图3-17
图3-17 从表中得知 的下 凸区间, 2 , 1) 是它的上凸区间.曲线上两 3 (− − ) 1 ( ) 2 3 (−,− 和（− ，+ ）是f x )和（ 1，0） 4 3 4 , 2 3 ( 3 − 点 − 为拐点，如图3-17所示