39数学软件 Mathematica的应用三 例1设∫(x)=2xlog3()-5c0sx, (1)分析函数f(x)在区间[1,10内的变化情况,并 描绘函数在该区间的图像, (2)作连结(1,f(1)和(10,f(10)的两点的割线, (3)在区间(1,10)内找出使函数∫(x)满足拉格朗 日中值定理结论的点ξ, (4)过点(,f(2)作曲线的切线,观察此切线是否 平行于(2)中所作的割线?
3.9 数学软件Mathematica的应用三 例1 设 （1）分析函数 在区间[1，10]内的变化情况，并 描绘函数在该区间的图像， （2）作连结 的两点的割线， （3）在区间（1，10）内找出使函数 满足拉格朗 日中值定理结论的点 ， （4）过点 作曲线的切线，观察此切线是否 平行于（2）中所作的割线？ ) 5cos , e ( ) 2 log ( 3 x x f x = x − f (x) (1, f (1))和(10, f (10)) f (x) (, f ( ))
解(1)先对f(x)求一阶导,用 Mathematica的求导指 令D,x求得: 2n x f(x)=5sin x In 3 再求f(x)的二阶导,用指令D[,{x,2},求得 2 f(x=5cosx x in 3 用指令 Plot[f,{x,1,10}, AxesLabel→>{x,y}],绘出函数 y=f(x)在区间[,10]上的图形,如图3-20 图3-20 15 -20
解（1）先对 求一阶导，用Mathematica的求导指 令D[f, x]求得： 再求 的二阶导，用指令D[f,{x, 2}], 求得 用指令Plot[f,{x,1,10}, AxesLabel {x, y}], 绘出函数 在区间[1，10]上的图形，如图3-20. f (x) , ln 3 2 ( ) 5cos x f x = x − f (x) , ln 3 2ln ( ) 5sin x f x = x − y = f (x) → → 图3-20
用指令 Pot[f’,{x,10, Axeslable→>{x,y] 绘出一阶导函数y=f(x)在区间[1,10上的图形,如图 3-21 Y 图3-21 2468
用指令 绘出一阶导函数 在区间[1，10]上的图形，如图 3-21. Plot[f ,{x,1,10},AxesLable →{x, y}] y = f '(x) 图3-21
观察图3-20,用指令 Findroot函数求根,分别求出 f(x)=0的两个零点,x=1.20589及x=407073 再观察图3-21,用指令 Findroot函数求根,分别求 出y=f(x)的三个零点x=27626,x=707615,x=85294 观察图3-21,用指令 Findroot函数求根,分别求 出y=f"(x)的三个零点 ,x=1.28307,x=4.7885,x=7.80733 观察图320及图3-21,得到函数y=f(x)在[1,10 上的单调增区间为[2.7626∪(7.076158.5294)
观察图3-20，用指令FindRoot函数求根，分别求出 的两个零点， 再观察图3-21，用指令FindRoot函数求根，分别求 出 的三个零点 观察图3-21，用指令FindRoot函数求根，分别求 出 的三个零点， 观察图3-20及图3-21，得到函数 在[1，10] 上的单调增区间为 x x = = 1.20589 4.07073 . 及 y = f '(x) x = 2.7626, x = 7.07615, x = 8.5294 . y = f ''(x) x =1.28307, x = 4.7885, x = 7.80733 . y = f (x) [1,2.7626](7.07615,8.5294), f (x) = 0
单调减区间为[27626,7.07615]∪[8.5294,10 f(27626)46385和f(85294=1463为极大值 f(7.0715)=-158333为极小值 f()=-08810330=-195179因此在[1,10上的最大 值为f(2.7626)=4.56385,最小值为f(10)=-19.5179 函数f(x)在[1,10上的上凸区间为: (1.28307,47885)(780733,10 函数y=f(x)在[1,10上的下凸区间为: 1128307]U[47885,7.80733]
为极小值. 因此在[1，10]上的最大 值为 最小值为 函数 在[1，10]上的上凸区间为： 函数 在[1，10]上的下凸区间为： 单调减区间为[2.7626, 7. 07615] [8.5294, 10]. (2.7626)=4.56385 和 (8.5294)= -14.63为极大值， f (7.0715) = −15.8333 f (1) = −0.881033, f (10) = −19.5179, f (x) f (2.7626) = 4.56385, f (10) = −19.5179 . (1.28307,4.7885)(7.80733,10] . y = f (x) [1,1.28307][4.7885,7.80733] . f f
曲线上的三个拐点分别为:(1.28307,033475), (4.7885 5.31609),(780733.-15.2289) (2)因为f(1 1)=-0.881033,f(10=-195179 所以连接(1,f(1)和(10,f(10)的两点的割线方程为: 19.517+0.881033 y-0.881033= 10-1 用指令 Simplify立即可得 y=-2.07077x+1.18973 用指令Poty},{x,1,10}, Axeslabel→{xy绘出函 数曲线及割线的图像,如图3-22
曲线上的三个拐点分别为：（1.28307, 0.33475）， （4.7885, -5.316 09），（7.80733,-15.2289）. (2) 因为 所以连接 的两点的割线方程为： 用指令Simplify立即可得 f (1) = −0.881033, f (10) = −19.5179 . (1, f (1))和(10, f (10)) ( 1) , 10 1 19.517 0.881033 0.881033 − − − + y − = x 用指令Plot[{f, y},{x, l, 10}, AxesLabel 绘出函 数曲线及割线的图像，如图3-22. y = −2.07077x +1.18973 . →{x, y}
2 4 8 5 图3-22 10 15 20 (3)观察图3-21及图3-2,用指令 Findroot函数分别 求得三点:x=3.13923,x=655715,x=9.02745,使得以上三 点就是函数f(x)满足拉格朗日中值定理结论的点51,52,53 (4)f(3.13923)=417717(6.55715)=-153249,f(9.02745)=-151151
图3-22 （3）观察图3-21及图3-22，用指令FindRoot函数分别 求得三点： 使得以上三 点就是函数 满足拉格朗日中值定理结论的点 x = 3.13923, x = 6.55715, x = 9.02745, f (x) 1 2 3. , , (4) f (3.13923) = 4.17717, f (6.55715) = −15.3249, f (9.02745) = −15.1151
过点,f(5作曲线的切线(i=1,2,3),用指令: PlotRf y, yl, y2, y3,x, 1, 10), Axexlabel >x, y I 绘出函数曲线、割线及三条切线,如图3-23,观察得到, 割线与三条切线确实平行 4 8 图3-23 10 20
过点 作曲线的切线（i=1,2,3），用指令： 绘出函数曲线、割线及三条切线，如图3-23，观察得到， 割线与三条切线确实平行. ( , ( )) i i f Plot[{f, y, y1, y2, y3},{x,1,10}, AxexLabel →{x, y}] 图3-23