《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）2.2 几种特殊矩阵

§22几种特殊矩阵 对角矩阵 定义28主对角线以外的元素全为零的n阶方 阵称为对角矩阵.即 22 如果A,B为同阶对角矩阵,则MA,A+B,AB仍是同阶 对角矩阵;且有AT=A 55

§2.2 几种特殊矩阵 一、对角矩阵 定义2.8 主对角线以外的元素全为零的 n 阶方 阵称为对角矩阵.即 如果A, B为同阶对角矩阵，则 kA,A+B,AB 仍是同阶 对角矩阵；且有 AT =A. -55-               = n n a a a  2 2 1 1 A

数量矩阵 定义29主对角线上的元素全为数a的对角矩阵 称为数量矩阵,即 、单位矩阵 定义2.10主对角线上的元素全为1的n阶数量 矩阵称为n阶单位矩阵,记作L或Ⅰ.即 -56

二、 数量矩阵 定义2.9 主对角线上的元素全为数 a 的对角矩阵 称为数量矩阵, 即 三、单位矩阵 定义2.10 主对角线上的元素全为1 的 n 阶数量 矩阵称为 n 阶单位矩阵，记作 In 或 I . 即 -56-               = a a a  A

对于单位矩阵,有 nm×n n×n5 n×nn n×n5 A=A=A (n)=(k为正整数)

即               = 1 1 1 n  I 对于单位矩阵，有 ; ; ; ( ) ( m m n m n m n n m n n n n n n k n n I A A A I A A I I A A I I k     = = = = = 为正整数）

四、三角形矩阵 定义211主对角线下(上)方的元素全为0的 n阶方阵称为上(下)三角形矩阵,即方阵 12 In 和 22 n2 nn 五、对称矩阵 定义212如果n阶方阵4=(an)的元素满足 条件an=an(j=1,2,…,m),则称A为对称矩阵

四、三角形矩阵 定义2.11 主对角线下（上）方的元素全为0 的 n 阶方阵称为上（下）三角形矩阵，即方阵 五、对称矩阵 定义2.12 如果n 阶方阵 A= (aij) 的元素满足 条件 aij = aji ( i, j =1, 2, ···, n), 则称 A 为对称矩阵.                             n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a         1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 和

10 例如(2 2 均为对称矩阵. 13 例1设A与B是两个同阶对称矩阵,证明:当 且仅当A与B可交换时(即AB=BA),AB是对称矩阵 证明因为A、B均是对称矩阵,所以AT=A,BT =B.如果AB=BA,则有AB)=BAT=BA=AB,故AB是 对称矩阵 反之,如果AB是对称的,即有(4B)=AB,则有 AB=(AB)T=BAT=BA,故A与B可交换

例如 均为对称矩阵.               − −         1 3 2 1 0 2 1 2 1 1 0 , 1 0 2 1 例 1 设 A 与 B 是两个同阶对称矩阵，证明：当 且仅当A 与B 可交换时（即 AB=BA），AB 是对称矩阵. 证明 因为A 、B 均是对称矩阵，所以AT =A ，BT =B. 如果AB=BA, 则有(AB) T = BTAT = BA = AB , 故AB 是 对称矩阵. 反之，如果 AB 是对称的，即有(AB) T = AB, 则有 AB= (AB) T = BTAT = BA , 故 A 与 B可交换

六、分块矩阵 将一个矩阵用纵线和横线分成若干块小矩阵,这 些小矩阵叫做矩阵的子块或子阵.以子块为元素的矩阵 称为分块矩阵 例如(10:02 1:0:0;2 0 0-1 或A= 0;1:0;-1 00:10 0:0:1:0 00:0 0:0:0 令120 02 00 0 则得分块矩阵 00

六、 分块矩阵 将一个矩阵用纵线和横线分成若干块小矩阵，这 些小矩阵叫做矩阵的子块或子阵. 以子块为元素的矩阵 称为分块矩阵. 例如 令 则得分块矩阵               − =               − = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 2 A 或 A I ,A ,O ,         =         − =         = 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 0 2 1

0 0 如果令 0 000 0 0 0 0 则得分块矩阵A=1B2E3a △矩阵的分块方法是任意的,把矩阵予以分块,是简 化矩阵运算的一种常用方法,而且恰当地分块还可能显 示矩阵某些部分的特殊性

. O I I A A         = 2 2 1 如果令 则得分块矩阵 ε ,ε ,ε ,α ,               − =               =               =               = 1 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 3 A (ε ε ε α ). = 1 2 3 矩阵的分块方法是任意的，把矩阵予以分块，是简 化矩阵运算的一种常用方法，而且恰当地分块还可能显 示矩阵某些部分的特殊性

例2将矩阵分块如下 10:00 01:00(IO 12:10(CI 11:01 30 B B 02-0 41 B BB 21 22 计算:k4,A+B,AB

. B B B B B , C I I O A         =               − − − =         =               − = 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 0 1 0 4 1 1 2 0 1 1 0 3 2 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 例 2 将矩阵分块如下 计算：kA, A+B, AB

解 k000 ⅠO(kⅠO 0k00 kA=kl CI) kI k 2k k 0 k k0 k 2032 A+B +B1O+B2|-1301 C+B I+B22 0251 0021

              − =        + + + + + =               − =        =        = 0 0 2 1 0 2 5 1 1 3 0 1 2 0 3 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 1 1 1 2 C B I B I B O B A B C I I O C I I O A k k k k k k k k k k k k k 解

I OB B AB 12 CI八B 21 B 22 IB 1B12 CBM+1B21 CBi2+ 1B22 B B I CBu+ B21 CB12+ B22 1032 120 2411 1153

              − − − =         + + =         + + =                 = 1 1 5 3 2 4 1 1 1 2 0 1 1 0 3 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 CB B CB B B B CB IB CB IB IB IB B B B B C I I O AB