§3.2向量组的线性相关性 线性相关与线性无关 定义34设有m个n维向量a1,a,a3,…,am,如 果存在m个不全为零的数k1k2 2ms 使得 k1a1+k2a2+…+knOn=0, 则称向量组a1,a2…,an线性相关;如果仅当k k2=…=kn=0时上式才成立,则称这m个向量线 性无关
§ 3.2 向量组的线性相关性 一、 线性相关与线性无关 定义3.4 设有m个n维向量α1 , α2 , α3 , ···,αm, 如 果存在m个不全为零的数 k1 , k2 , ···, km, 使得 k1α1 + k2α2+ ···+ kmαm = 0, 则称向量组α1 , α2 , ···,αm 线性相关；如果仅当k1= k2= ···= km = 0 时上式才成立，则称这m个向量线 性无关
由向量组之间的线性相关性定义可得: (1)只有一个向量的向量组,当a为零向量时线 性相关,a为非零向量时线性无关 (2)两个n维向量线性相关的充分必要条件是它 们的各对应分量成比例 (3)如果向量组中有一部分向量(称为部分组) 线性相关,那么整个向量组必线性相关 (4)若一个向量组线性无关,则向量组的任意 个部分组也线性无关
由向量组之间的线性相关性定义可得： (1) 只有一个向量的向量组，当α为零向量时线 性相关， α为非零向量时线性无关. (2) 两个n维向量线性相关的充分必要条件是它 们的各对应分量成比例. (3) 如果向量组中有一部分向量 ( 称为部分组 ) 线性相关，那么整个向量组必线性相关. (4) 若一个向量组线性无关，则向量组的任意 一个部分组也线性无关
例1判断向量组a1=(10.2),a2=(1,1,1), a3(3,1,5)的线性相关性 解设k1a1+k2a2+k3a3=0 即k1(0,2)+k2(11,1)+k3(3,1,5)=0, 则(k1+k2+3k32k2+k3, 2k1+k2+5k3)=(0,0,0) k1+k2+3k3=0 于是得方程组 K tk=0 2k1+k2+5k3=0
例1 判断向量组 α1= (1,0,2), α2= (1,1,1), α3= (3,1,5) 的线性相关性. 解 设 k1 α1+k2 α2+ k3 α3= 0 即 k1 (1,0,2) + k2 (1,1,1) + k3 (3,1,5) = 0 ， 则 (k 1+ k2+3k3 , k2+ k3 , 2k1+ k2+ 5k3 ) = (0,0,0) 于是得方程组 1 2 3 2 3 1 2 3 3 0 0 2 5 0 k k k k k k k k + + = + = + + =
解之得k1=-2k2,k2=-k2,这里k3可以任意取值 设k31则k2=-1,k1=-2.因此,有一组非零值 1 满足ka1+k2a2+k3a3=0,故向量组a12a3 线性相关
解之得 k1= – 2k3 , k2= – k3 , 这里 k3 可以任意取值. 设 k3=1 则 k2= – 1, k1= – 2 . 因此, 有一组非零值 k1= – 2, k2= – 1, k3=1 . 满足 k1α1+k2α2+ k3α3= 0 ，故向量组 α1 ,α2 ,α3 线性相关
例2证明n维向量组 E1=(1,0,…,0),2=(0,1,…,0),…,En=(0,0,…,1) 线性无关 证明设k11+k22+…+knn=0,由于 k1 81+k62 k, 8 =k1(1,0,…,0)+k2(0,1,…O)+…+kn(00,…,1) (k1,k2,…,kn)=0, 故k=k2=…=kn=0,所以1,62…,En线性无关
例2 证明 n 维向量组 ε1=(1,0, ···,0), ε2=(0,1, ···,0), ···, εn=(0,0, ···,1) 线性无关. 证明 设 k1 ε1+k2 ε2+ ···+kn εn =0, 由于 k1 ε1 + k2 ε2 + ···+ kn εn = k1 (1,0, ···,0)+k2 (0,1, ···,0)+ ···+kn (0,0, ···,1) = (k1 , k2 , ···, kn ) = 0, 故 k1 = k2 = ···= kn = 0, 所以 ε1 , ε2 , ···, εn 线性无关
例3证明:如果向量a,B,y线性无关, 则向量a+B,B+y,a+y也线性无关 证明设k(a+)+k2(B+y)+k3(a+y)=0, 整理得(k1+k3)a+(k1+k2)B+(k2+k3)y=0 已知a,β,y线性无关,故必有 k1+k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0 解之得k=k2=k3=0.三元一次方程组只有零解 所以a+B,B+y,a+y线性无关
例3 证明: 如果向量 α , β ,γ 线性无关， 则向量 α+β , β+γ , α+γ 也线性无关. 证明 设 k1 (α+β ) + k2 (β+γ ) + k3 (α+γ ) = 0, 整理得 (k1+k3 ) α + (k1+k2 ) β + (k2+k3 ) γ = 0 已知 α , β ,γ 线性无关 , 故必有 k1+k3 = 0, k1+k2 = 0, k2+k3 = 0. 解之得 k1= k2= k3= 0 . 三元一次方程组只有零解. 所以 α+β , β+γ , α+γ 线性无关
线性组合 定义35设a1,02,…,an和是m+1个n维 向量,如果存在一组数k,k2,…,k使 =k1a1+k2a2+…+ 则称β为a1,a2…,an的线性组合,或称B可由 线性表示
二、 线性组合 定义 3.5 设 α1 , α2 , ···,αm和 β 是 m+1个 n 维 向量, 如果存在一组数 k1 , k2 , ···, km 使 β = k1α1 + k2α2+ ···+ kmαm , 则称 β 为 α1 , α2 , ···,αm 的线性组合，或称 β 可由 α1 , α2 , ···,αm 线性表示
例如 设β=(3,1,2),a1=(1,0,1),a2=(1,1,1 (0,1,1),a4=(3,5,2) 因为 β=a1+202-a3+0a4 所以B是a1,a21a3,a4的一个线性组合 或说B可以由a1,a2,3,4线性表示
例如 设 β = ( 3, 1, 2), α1 = ( 1, 0, 1), α2 = ( 1, 1, 1), α3 = ( 0, 1, 1), α4 = ( 3, 5, 2). 因为 β = α1 + 2α2 －α3 + 0·α4 所以 β 是 α1 ,α2 ,α3 ,α4 的一个线性组合， 或说 β 可以由 α1 ,α2 ,α3 ,α4 线性表示
例4求证任何一个n维向量都是n维单位向量 组的线性组合 证明设a=(a1,a2,…an是一个n维向量,n 维单位向量组为 E1=(1,0,…0),E2=(0,1,…,0),,En2=(0,0,…,1) 由于n维向量a可以表成 =a181+aE2+…+a non s 所以任何一个n维向量a=(a1a2…an)都是该向量 组的线性组合
例4 求证任何一个n 维向量都是n 维单位向量 组的线性组合. 证明 设 α =(a1 , a2 , ···,an )是一个n 维向量，n 维单位向量组为 ε1=(1,0, ···,0), ε2=(0,1, ···,0), ···, εn=(0,0, ···,1) . 由于n 维向量α 可以表成 α = a1 ε1+ a2 ε2+ ···+ an εn , 所以任何一个n 维向量α = (a1 ,a2 ,···,an )都是该向量 组的线性组合
例5向量组a,a2,…,n中任一向量 a1都是该向量组的线性组合 因为a1=0a1+…+1a1+…+0an (i=1,2,…,m) 向量间线性关系定理 定理31向量组a1,a2,…,an(m2)线性相关 的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量 的线性组合
例5 向量组α1 , α2 , ···,αm中任一向量 αi 都是该向量组的线性组合. 因为αi = 0·α1+ ···+ 1·αi+ ···+ 0·αm (i=1,2, ···, m) 三、向量间线性关系定理 定理 3.1 向量组 α1，α2, ···，αm(m≥2)线性相关 的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量 的线性组合