04 44分部积分法 设n(x)及v(x)具有连续导数则有 udy=uv- vdu (1) (1)式称为分部积分公式 事实上,由(u)=n'p+'移项得 两边积分,即的(1)式 成∫(xy(=(x()-y(x(2)
4.4 分部积分法 d d u v = uv − v u 设u(x)及v(x)具有连续导数,则有 事实上，由 (uv) = u'v + uv' uv (uv) − uv = 04 (1)式称为分部积分公式 （1） 移项得 两边积分，即的（1）式 d d 或 u(x)v (x) x = u(x)v(x) − v(x)u (x) x （2）
例1求 xcos xdx 解∫ x cos xdx=xd(sin sinx- sin xdx =xsinx+cosx+C 例2求 xe dx. 解 near=rde e xe=e+c
x x x e d ) = x xd(e x x x x e e d = − e e . x x = − + x C . x x x 例 2 求 e d 解 xcos x dx sin ) = xd( x = xsin x − sin x dx = xsin x + cos x + C . 解 cos . 例 1 求 x x dx
例3求 xed。 解 xe dx r de e x·2xdx x2e-2xe--e+C =elx-2x+2+C 例4求「 xIn xdx 2 2 解 JiN xdx=in xd-32=2mx-2 2 Inx=-+C 2 2-rd_r2 2
. 2 x x x 求 e d x x x e d 2 = x x de 2 = x − x x x x e e 2 d 2 x (x ) C x x x = e − 2 e − e + 2 ( 2 2 ) . 2 x x C x = e − + + 例 3 解 ln . 求 x x dx x ln x dx 2 ln d 2x = x = − x x x x x d 1 2 ln 22 2 = x − x x x d 21 ln 22 . 4 ln 22 2 C x x x = − + 例 4 解
例5求∫ arccos rdx 解 arccos xdx=x arccos x· arccos x x∴ arccos u +c = . arccos x-√1-x2+C
arccos . 求 x dx arccos x dx − = + x x x x x d 2 1 arccos ( ) C x x x + − = + − 21 1 21 arccos 21 2 ( ) − − = + − 2 2 1 1 1 21 arccos x x x x d arccos 1 . 2 = x x − − x + C 例 5 解
例6求「 arctan xdx 解」 arctan xdx= arctan xd 2 x arctan. 2了21+x2 2mx2J(1-1+x2 arctanx-(x-arctan x)+C x+1=x+C
arctan . 求 x x dx xarctan x dx = 2 arctan 2 x x d + = − x x x x x d 2 2 2 1 1 2 2 arctan + = − − x x x x d 2 2 1 1 1 21 arctan 2 x (x x ) C x = − − arctan + 21 arctan 22 ( ) . 21 1 arctan 21 2 = x + x − x + C 例 6 解
注1.应用分部积分法,恰当选取n和d是关键,应用时应 考虑以下两点: (1)V要容易求出 2jwd要比d容易积出 2.由以上几例可知,若被积函数是幂函数与对数函数或 幂函数与反三角函数的乘积,可考虑用分部积分法, 并设对数函数或反三角函数为 若被积函数是幂函数与三角函数或幂函数与指数函数的 乘积,可考虑用分部积分法,并设幂函数为u
注 1.应用分部积分法，恰当选取u和dv是关键，应用时应 考虑以下两点： (1)v要容易求出. (2) 要比 容易积出. vdu udv 并设对数函数或反三角函数为u. 2. 由以上几例可知，若被积函数 是幂函数与对数函数或 幂函数与反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法， 乘积，可考虑用分部积分法，并设幂函数为u. 若被积函数是幂函数与三角函数或幂函数与指数函数的
例7求「e" sin xd 解 e sinar e d(cos x) -e cosx+e cos rdx e cos x+ed(sin x) -e cosr+e sinr-e sinrdx 把| e sinx d移到等号左端去并两端同除以,便得 Jesin xdx=e (sin x-cos x)+C 2
x x x 求 e sin d x x x e sin d cos ) = − x x e d( x x x x x = − e cos + e cos d cos sin ) = − x + x x x e e d( = − x + x − x x x x x e cos e sin e sin d ( ) e d e sin cos . 21 sin x x x x C x x = − + 把 e x sin x dx移到等号左端去,并两端同除以2,便得 例7 解
例8求∫ sec xdx 解 I sec' xdx=」 seed(tanx) secx tanx- secxtan xdx secx tan x- secxlsecx-1lx secx tanx- sec'x-secx dx secxtanx-sec'xdx+Inlsecx+tan x, 把sec3xdx移到等式左端,整理得 sec xdx=-lsecx x +Inlsecx+ tan x+C
xdx 3 求 sec xdx 3 sec sec tan ) = xd( x x x x x x = − d 2 sec tan sec tan x x x( x ) x = sec tan − sec sec −1 d 2 x x ( x x) x = sec tan − sec − sec d 3 sec tan sec ln sec tan , 3 = x x − x x + x + x d (sec tan ln sec tan ) . 2 1 sec3 x x = x x + x + x + C d 3 sec d , x x 把 移到等式左端 整理得 例8 解
下面是换元法与分部法兼用的例子 例9求[edx 解令√x=t,则x=t2,dx=2t,于是 edx=2 te'dt =2e(-1)+C e +C
x x 求 e d 令 x = t, 则x = t 2 , dx = 2tdt, 于是 x x e d = t t t 2 e d (t ) C t = 2e − 1 + 2 ( x 1) C. x = e − + 例9 解 下面是换元法与分部法兼用的例子