第五章定积分 5.1定积分的概念 、引例 1.曲边梯形的面积 由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a,x=b,x 轴所围成的图形叫曲边梯形,如图5-1,下面来讨论如何 求曲边梯形的面积
第五章 定积分 5.1定积分的概念 y = f (x)( f (x) 0) x = a, x = b, x 一、引例 1. 曲边梯形的面积 由连续曲线 及直线 轴所围成的图形叫曲边梯形，如图5-1，下面来讨论如何 求曲边梯形的面积
y y=f(x) B A o a xi x2 xit x b x 图5-1
首先把曲边梯形分割成许多个小曲边梯形,由于f(x) 是连续变化的,当x变化不大时,f(x)也变化不大基于这 种考虑,我们就可以用与每个小曲边梯形同底的小矩形 的面积近似代替小曲边梯形的面积把这些小矩形的面积 累加起来,就得到曲边梯形面积的近似值分割得越
首先把曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，由于 是连续变化的，当 变化不大时， 也变化不大.基于这 种考虑，我们就可以用与每个小曲边梯形同底的小矩形 的面积近似代替小曲边梯形的面积.把这些小矩形的面积 累加起来，就得到曲边梯形面积的近似值.分割得越 x f (x) f (x)
细,得到的近似值就越接近曲边梯形的面积当分割无限 变细时,这个近似值的极限就是曲边梯形的面积 根据上述分析,求曲线梯形的面积可按以下四个步骤 进行: (1)分割 用分点a=x<x<…<x.,<x=b 将区间[an,b]分割成n个小区
细，得到的近似值就越接近曲边梯形的面积.当分割无限 变细时，这个近似值的极限就是曲边梯形的面积. 根据上述分析，求曲线梯形的面积可按以下四个步骤 进行： (1)分割 用分点 将区间 分割成 个小区间 a =x0 x1 xn−1 xn = b [a,b] n
051 n-15n 152 每个小区间的长度分别为 △x1=x1-x0,Ax2=x2-x12…,Axn=xn-x21 过各分点作垂直于x轴的垂线,这些直线把曲边梯 形aAB分割成n个小曲边梯形,用S表示曲边梯形aB的 面积,AS,表示第讠个小曲边梯形的面积,则有
0 1 1 1 2 x , x , , x , x , x , x n− n 每个小区间的长度分别为 , , 1 1 0 2 2 1 x = x − x x = x − x 1 , n = n − n− x x x 过各分点作垂直于 轴的垂线，这些直线把曲边梯 形 分割成 个小曲边梯形，用 表示曲边梯形 的 面积， 表示第 个小曲边梯形的面积，则有 x Si aABb n aABb i S
∑AS S=△S1+△S,+△S3+…+NS日 (2)近似代替 在每个小区间[x=12x](=12,…,m)上任取一点 过作x轴的垂线与曲线交于(5,f(5),以Ax为 底,f(5)为高作矩形则矩形面积∫(5)·Ax可近似代替小 曲边梯形的面积△x,即 △S,≈f()Ax1(i=1,2,…,n)
. 1 1 2 3 = = + + + + = n i S S S S Sn Si （2）近似代替 在每个小区间 上任取一点 ,过 作 轴的垂线与曲线交于 以 为 底， 为高作矩形.则矩形面积 可近似代替小 曲边梯形的面积 , 即 [ , ] ( 1,2, , ) xi−1 xi i = n ( , ( )) , i i f i i x i i f ( )x i x ( ) i f i x S f ( ) x (i 1,2, ,n) . i i i =
(3)求和 将n个小矩形的面积加起来,便可得到曲边梯形面积 S的近似值,即 S=∑AS,≈∑f(5 i=1 (4)取极限 将区间[ab分割得越细,∑f()Ax就越接近曲边梯 形的面积S,当将分割无限进行下去,使得每个小区间 的长度都趋于零时,就得到了所求曲边梯形的面积
（3）求和 将 个小矩形的面积加起来，便可得到曲边梯形面积 的近似值，即 = = = n i i n i i i S S f x 1 1 ( ) （4）取极限 将区间 分割得越细， 就越接近曲边梯 形的面积 ，当将分割无限进行下去，使得每个小区间 的长度都趋于零时，就得到了所求曲边梯形的面积. = n i i i f x 1 ( ) n S [a,b] S
故令△x=max{4x;}(i=1,2,…,n)表示所有小区间 中的最大区间的长度,则 S=m∑f(5)Ax Ax→>0 由此可见,求曲边梯形的面积可以归结为求和式的 极限
故令 表示所有小区间 中的最大区间的长度，则 x max{ x } (i 1,2, , n) = i = . = → = n i i i x S f x 1 0 lim ( ) 由此可见，求曲边梯形的面积可以归结为求和式的 极限
2变速直线运动物体的路程 设物体运动的速度为υ=U(t),求该物体从时刻t=a到 t=B(a<B)通过的路程 该问题的困难是非匀速运动,即υ(t)不是一个常数 如果物体作匀速运动,即U(t)=k,则物体从时刻a到β 通过的路程为
2.变速直线运动物体的路程 设物体运动的速度为 =(t), 求该物体从时刻 到 t = (a ) 通过的路程. 该问题的困难是非匀速运动，即 不是一个常数. 如果物体作匀速运动，即 ，则物体从时刻 到 通过的路程为 (t) (t) = k t =