41不定积分的概念与性质 、原函数的概念 不定积分的概念 三、不定积分的性质 四、不定积分的几何意义
4.1 不定积分的概念与性质 一、原函数的概念 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质 四、不定积分的几何意义
例如(sinx)y=cosx,;sinx为cosx的原函数 (sinx+1)’=cosx,∴sinx+1也为cosx的原函数 而(Sinx+C)=cosx,∴sinx+C也是cosx的原函数 问题:(1)什么函数有原函数? (2)若函数有原函数,有多少个? (3)函数的任意两个原函数之间是什么关系?
例如 (sin x) = cos x, sin x为cos x的原函数 (sin x + 1) = cos x, sin x + 1也 为cos x的原函数 而 (sin ) cos , x C x + = + sin cos x C x 也是 的原函数 问题：（1）什么函数有原函数？ （2）若函数有原函数，有多少个？ （3）函数的任意两个原函数之间是什么关系？
2原函数存在定理 如果函数(x)在区间上连续则在区间上存 在可导函数P(x),使对任x∈I,都有F(x=∫(x) 简言之,即:连续函数(或只有有限个可去间断 点的函数)一定有原函数 且若函数有原函数,一定有无穷多个原函数
如果函数f (x)在区间I上连续,则在区间I上存 简言之，即：连续函数（或只有有限个可去间断 2.原函数存在定理 在可导函数F(x), 使对任一x I,都有 F(x) = f (x). 点的函数）一定有原函数. 且若函数有原函数，一定有无穷多个原函数
3原函数族定理 设F(x)为f(x)的原函数,则(x)+C为f(x)的 所有原函数 ([F(x)+C] )设x)为/(x)的另一个原函数则(x)-F(x)=0 Φ(x)-F(x)=C⑩(x)=F(x)+C 函数的任意两个原函数之间仅相差一个常数
设F(x)为f (x)的原函数，则F(x) +C为f (x)的 (i)F(x) C = f (x) + ( ) ( ) = 0 则 x − F x (x) − F(x) = C (ii) 设(x)为f (x)的另一个原函数, (x) = F(x) + C 3.原函数族定理 原函数. 即： 函数的任意两个原函数之间仅相差一个常数. 所有
不定积分的概念 定义4.2在区间上,f(x)的所有原函数称为(x) 在区间上的不定积分,记为f(x)dx 设F(x)为f(x)的一个原函数则有 ∫(x)dx=F(x)+C 其中∫"—一积分号,∫(x)——被积函数, f(x)dx被积表达式,x—积分变量, 积分常数
二、不定积分的概念 —— 积分变量, f (x)dx = F(x) + C " " f ( x) —— 被积函数， f (x)dx —— 被积表达式， x 设F(x)为f (x)的一个原函数， f x x ( )d . 的不定积分，记为 其中 —— 积分号， 则有 C —— 积分常数. 定义4 .2 在区间I上，f (x)的所有原函数称为f (x) 在区间I上
例1求「xdx 解 s tJ =x2∴「x2dx 3 C 例2求∫dx 解当x>0,(1 -dx= lnx tc 当x<0,∵[(-x)"=-(-1) dx=ln( -x)+c 从而 dx=mx+C,x≠0
例1 x dx 求 2 解 C x x x = + 3 3 2 d 例2 x x d 1 求 解 ( ) x x 1 ln = x x C x = + ln 1 d 3 2 ) 3 1 ( x = x 当 x 0, 当x 0, x x x 1 ( 1) 1 [ln( )] − = − − = x x C x = − + ln( ) 1 d 从而 ln , 0 1 = + x x C x x d
例3设曲线通过点(1,2),且其上任意点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程 解设所求曲线为=f(x) x t+ 由题意知=2x即r(x)=2x, d x ∫(x)=2xdx=x2+C, 又曲线通过点(1,2),C=1, f∫(x)=x2+1, 此曲线的方程为y=x2+1
( ) 2 , 2 f x = xdx = x + C 例3 设曲线通过点(1，2),且其上任意点处的 解 设所求曲线为y = f (x), x x y = 2 d d 由题意知 即f (x) = 2x, 又曲线通过点（1，2）， C = 1, ( ) 1, 2 f x = x + 此曲线的方程为 1. 2 y = x + 1 2 y = x + 1 2 x y 0 2 y = x 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程
三、不定积分的性质 性质1(+(x)=/(x)或可()=/(x), 性质2∫F(x)x=F(x)+C或∫r(=F(+C 性质1、2说明:积分与微分互为逆运算 性质3∫[(x)±g()1x=∫f(xx士∫g(xx 性质4∫4(xx=lf(xx 注:性质3可推广至有限个函数代数和的情况
三、不定积分的性质 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx. = kf (x)dx k f (x)dx. = 性质1 性质2 [ f (x) x] = f (x) x d d d F(x)dx = F(x) + C 性质3 性质4 或 [ ( ) ] ( ) , d f x dx = f x dx 或 ( ) ( ) . dF x = F x + C 性质1、2说明：积分与微分互为逆运算. 注：性质3可推广至有限个函数代数和的情况
四、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 不定积分f(x)dx在几何上就表示(x)的积分 曲线族,它的方程是y=F(x)+C, 由F(x)=∫(x)可知: 在积分曲线族上横坐标相同的点处 作切线,这些切线是彼此平行的 如图
四、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 不定积分 f (x)dx y = F(x) + C, 在几何上就表示 曲线族，它的方程是 f ( x) 的积分 在积分曲线族上横坐标相同的点处 由 F(x) = f (x) 可知： 作切线，这些切线是彼此平行的. 如图. 0 o x x y