《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）1.6 函数的连续性

1.6函数的连续性 函数的连续性 函数的间断点及其类型 连续函数的四则运算法则 四、反函数与复合函数的连续性 五、初等函数的连续性 六、闭区间上连续函数的性质

1.6 函数的连续性 二、函数的间断点及其类型 三、连续函数的四则运算法则 四、反函数与复合函数的连续性 五、初等函数的连续性 一、函数的连续性 六、闭区间上连续函数的性质

1.6函数的连续性 函数的连续性 自然界中有许多现象,如气温的变化,河水的流动, 植物的生长等等,都是连续变化着的这种现象在函数 关系上的反映,就是函数的连续性例如就气温的变化 来看,当时间变动很小时气温的变化也很小这种特点 就是所谓连续性

1.6 函数的连续性 一、 函数的连续性 自然界中有许多现象, 植物的生长等等, 都是连续变化着的. 如气温的变化, 河水的流动, 这种现象在函数 关系上的反映, 就是函数的连续性. 例如就气温的变化 来看 当时间变动很小时, , 气温的变化也很小, 就是所谓连续性 . 这种特点

1函数的增量(改变量) 变量u从一个初值u1变到终值l2,则u21称为变 量u的增量,记做△u,即 2-l1 +△L 注: (1)A是一个记号,是一个不可分割的整体 (2)△可正,可负可为零

注： ⑴Δu是一个记号，是一个不可分割的整体. ⑵Δu可正,可负,可为零. 1.函数的增量（改变量） 变量u从一个初值u1变到终值u2，则u2 - u1称为变 量u的增量,记做 即 . , u2 = u1 + u u = u2 − u1 u

对函数y=f(x)来说,有变量的增量△x △x=x-x0 y=∫(x) 函数y=f(x)的增量 f(ro △ y=∫(x0+Ax)-∫(x f(x)连续的意思是很小时,y也很小 即:当△x→0时,△y→0

自变量的增量 的增量 ( ) ( ). 0 x0 y = f x + x − f 对函数y = f (x)来说，有 x0 + x x y x y x0 ( ) x0 f y = f (x) x , x = x − x0 函数 y = f (x) 0 f (x)连续的意思是  x y 很小时， 也很小. 即：当x → 0时，y → 0

例1设f(x)=2x+1,分别求Δx,△y. (1)x由2变到21,(2)x由2变到18 解(1)△=2l-2=0.1, Δy=∫(21)-f(2) (2×21+1)-(2×2+1) 0.2. (2)△x=18-2=-0.2 y=∫(1.8)-f(2) (2×18+1)-(2×2+1) =-0.4

例1 设 f (x) = 2x + 1, 分别求 x , y. （1） x由2变到2.1, （2） x由2变到1.8. 解 （1） x = 2.1-2 = 0.1 , y = f (2.1) − f (2) = (2 2.1 + 1) − (2 2 + 1) = 0.2. （2） x = 1.8-2 = −0.2 , y = f (1.8) − f (2) = (21.8 + 1) − (2 2 + 1) = −0.4

2连续函数的概念 定义118设y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义 如果自变量的增量△x=x-x趋于零时,函数y的对 应增量4y也趋于零,即mm4y=0,或 lim lf(o+ Ax)-f(o)=0 △x→>0 则称函数y=f(x)在点x连续 若令x=x0+△x,那么Ax→>0分x→x0 小→0分f(x)>f(x 因此Iim4y=0eimf(x)=f(x) x→x x→x0

( ) . 则称函数 y = f x 在点x0 连续 y → 0  f (x) → f (x0 )， lim 0 lim ( ) ( ). 0 0 0 y f x f x x x x x  =  = → → 因此 如果自变量 的增量x = x − x0 趋于零时，函 数 y的 对 lim 0, x 0  =  → 即 y 0 0 那么 x →  x → x 2 .连续函数的概念 , 若令x = x0 + x lim  ( ) ( ) 0, 0 0 0 +  − =  → f x x f x x 定义1.18 设y = f (x)在 点 x0 的某一邻域内有定义 应增量y也趋于零， 或

定义119设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有 定义如果imf(x)=f(x0)则称函数y=f(x)在点 x→r0 x0连续 函数y=f(x)在点x左连续兮limf(x)=f(x0) x→x0 函数y=∫(x)在点x右连续台imf(x)=f(x0) 显然,f(x)在x点连续兮在x点既左连续又右连续 Ep lim f(x)=f(xo)+ lim f(x)=lim f(x)=f(xo) x→>x0 x→>x0 x→x0 如果∫(x)在(an,b)内每一点都连续,则称∫(x)在 (ab)内连续这时,区间a,b)称为函数(x)的连续区 间

lim ( ) ( 0 )， 0 f x f x x x = → 定义1.19 则称函数 y = f (x) 在点 设函数 y = f (x)在点 x0 的某一邻域内有 如果 ( ) lim ( ) ( ). 0 0 0 y f x x f x f x x x =  = 函 数 在 点 左连续 → − ( ) lim ( ) ( ). 0 0 0 y f x x f x f x x x =  = 函 数 在 点 右连续 → + 显然，f (x)在x0 点连续 在x0 点既左连续又右连续， lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x x x x x x =  = = 即 → → + → − 如果 f (x)在(a,b)内每一点都连续，则称 f (x)在 (a,b)内连续.这时，区间(a，b)称为函数f (x)的连续区 间. . x0 连续 定义

如果∫(x)在(a,b)内连续,且在n点右连续,在b点左 连续,则称f(x)在,b上连续 例2证明函数y=six在(-0,+0∞)内连续 证对任意的x0∈(-∞+0), 4y=∫(x+△x)-f(x) =sin(x0+△x)- sInx △v △v =2c0(x0+)·sin

( ) [ , ] . ( ) ( , ) 连续，则称 在 上连续 如 果 在 内连续，且在 点右连续，在 点 左 f x a b f x a b a b 例2 证明函数 y = sin x 在 (− ,+ ) 内连续 证 对任意的 ( , ), x 0  −  +  ( ) ( ) 0 x 0 y = f x + x − f 0 0 = sin( x + x ) − sin x , 2 ) sin 2 2cos( 0 x x x    = +

△ △ lim Ay= lim [2 cos(xo+=).sin △r->0 2 2 △y SIn 2 △ lim ·Iim[△x·c0s(x0+) Ax→>0△xAx→>0 2 =1×0=0. 所以,函数=Smx在x点连续由x在(-,+) 的任意性知,y=six在(-,+)内连续

y x   →0 lim ] 2 ) sin 2 lim[2cos( 0 0 x x x x    = +  → )] 2 lim [ cos( 2 2 sin lim 0 0 0 x x x x x x x     +   =  →  → = 10 = 0. 所以，函数 y = sin x 在x0点连续.由x0在 (− ,+ ) 的任意性知， y = sin x 在 内连续. (−,+)

3函数的连续性Iimf(x)=f(x)的几何解释 ∫(x)在x连续 lim f(r=A x→x 并且A=f(x0) 向题 函数在点x0连续与 存在极限的区别? 1x=x0必须取到 x+6 2A=f(x0)

x y0 f (x ) 0 x lim ( ) ( 0 ) 的几何解释 0 f x f x x x = → −  0 x +  0 x f x A x x = → lim ( ) 0 问题 ： 函数在点x 0连续与 存在极限的区别 ？ 1 x =x 0必须取到 . 3.函数的连续性 2 A= f (x 0 ) f (x 0 ) 并且A= f (x 0 ) f (x ) 在x 0连续 