第一章行列式 §1.1n阶行列式的定义及性质 、二、三阶行列式 二、三阶行列式的对角线法则 201221
第一章 行 列 式 § 1.1 n 阶行列式的定义及性质 一、二、三阶行列式 二、三阶行列式的对角线法则 (1.1) 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = −
21a2a23=a1a23+a12a231+a321a32 31 32C 33 -a132a31-a122a3-a1423l2(1.2) 当n>3时,以上的行列式对角线法不成立。 从二、三阶行列式的展开式中,我们发现它们 遵循着一个共同的规律—可以按第一行展开,由 (12)式得
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 当n>3时，以上的行列式对角线法不成立。 从二、三阶行列式的展开式中，我们发现它们 遵循着一个共同的规律——可以按第一行展开，由 (1.2)式得， (1.2)
13 a2)+a12(2 332 12 +a13(a2 13 12 a12 ta 12412+a (1.3) 134113
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 1 3 2 1 3 2 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + = − + + − = − + − (1.3)
其中 4=(1)12a2 22033 32 1+2|21 1033 A3=(-1) 1+3|21 22 2132 22031 32 同样,由(1.1)式得 D 114111 +a 12412 (1.4) 22
2 1 3 2 2 2 3 1 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 1 1 2 2 2 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a A a a a a a a a a A a a a a a a a a A = − = − = − = − = − = − + + + 其中 11 11 12 12 21 22 11 12 a A a A a a a a D = = + 同样，由（1.1）式得 (1.4)
其中 +1 2 22 12 (-1)2 这里a2a2|是一阶行列式(不是表示数的绝对 值,我们把a的一阶行列式|a|定义为a 如果把(1.3)、(1.4)两式作为三阶、 二阶行列式的定义,那么这种定义的方法是统 的,它们都是利用低阶行列式定义高一阶的行列 式
其中 这里 是一阶行列式(不是表示数的绝对 值), 我们把 a 的一阶行列式︱a︱定义为 a . 如果把（1.3）、（1.4）两式作为三阶、 二阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一 的，它们都是利用低阶行列式定义高一阶的行列 式. 22 21 a , a 21 21 1 2 12 22 22 1 1 11 1 1 A a a A a a = − = − = − = + + ( ) ( )
二、n阶行列式 定义1.1由m2个元素an(j=1,2,…,n)排成 n行n列,记为 12 D= n n2 称为一个n阶行列式.它表示一个由确定的运算关系所 得的数:D=a1A1+a1242+…+a1n4n=∑a1A J=1
二、n 阶行列式 定义1.1 由 n 2 个元素aij(i,j =1, 2, ···, n) 排成 n 行 n 列，记为 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 称为一个n 阶行列式.它表示一个由确定的运算关系所 得的数： j n j D a A a A a n An a j A1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 = = + ++ =
其中An=(1)y+M称为an的代数余子式,M为由D 中划去元素an所在的第i行和第j列元素后,余下的 元素构成的n-1阶行列式,即 i+1,j-1 i+1,n nI+
其中 Aij = (-1) i+jMij 称为aij 的代数余子式，Mij 为由 D 中划去元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素后, 余下的 元素构成的 n-1 阶行列式，即 n n j n j n n i i j i j i n i i j i j i n j j n i j a a a a a a a a a a a a a a a a M 1 , 1 , 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1 1 1, 1 1, 1 1 − + + + − + + + − − − − + − − + =
称为元素an的余子式(、j=1,2,3,,n) 例1写出四阶行列式 点OO 001 的元素a32的余子式和代数余子式。 解元素a32的余子式是划去第3行和第2列后, 余下的元素按原来顺序组成的 阶行列式,而元 素a32的代数余子式为余子式M2前面加一个符 号因子,即
称为元素aij 的余子式(i、j=1, 2, 3 ,····,n). 例1 写出四阶行列式 的元素 a32 的余子式和代数余子式。 解 元素 a32 的余子式是划去第 3 行和第 2 列后， 余下的元素按原来顺序组成的一个三阶行列式，而元 素 a32 的代数余子式为余子式 M32 前面加一个符 号因子，即 0 0 1 2 2 3 3 1 1 0 1 5 3 1 0 7 − − −
307 307 M2=115432=(-1)2M2=-115 0 例2计算行列式 1-42 (1)D= (2)D=30-3 34 245 解(1)D =2×4-(-1)×3=11 34 (2)D=130-3=1×0×5+3×4×2+(2)×(-4×(-3)-2×0×(-2) (-4)×3×5-1×(-3)×4=72
0 1 2 1 1 5 3 0 7 , ( 1) 0 1 2 1 1 5 3 0 7 3 2 3 2 3 2 3 2 − = − = − − = + M A M 例2 计算行列式 3 4 2 −1 （1） D = （2）D = 2 4 5 3 0 3 1 4 2 − − − 解（1） 2 4 ( 1) 3 11 3 4 2 1 = − − = − D = （2） ( 4) 3 5 1 ( 3) 4 72 1 0 5 3 4 2 ( 2) ( 4) ( 3) 2 0 ( 2) 2 4 5 3 0 3 1 4 2 − − − = = + + − − − − − − − − − D =
例3证明n阶下三角行列式 (当还时,a1=0即主对角线以上元素全为零 a10 D 22 2 证明对n作数学归纳法,当n=2时,结果 显然成立假设结论对n-1阶下三角行列式仍成立, 则由定义得 0 D 21 0 32 nn
例3 证明 n 阶下三角行列式 ( 当i<j 时, aij = 0 即主对角线以上元素全为零）. n n n n n n a a a a a a a a a D 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 = = 证明 对 n 作数学归纳法，当 n=2 时，结果 显然成立.假设结论对 n-1阶下三角行列式仍成立, 则由定义得 n n n n an an an n a a a a a a a a a a D 2 3 3 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 ( 1) 0 0 0 + = = −