《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）2.5 矩阵的秩

§2.5矩阵的秩 矩阵秩的概念 定义2.19设A是m×n矩阵,从A中任取k 行k列(1≤k≤min{m,n}),位于这些行和列的 相交处的元素,按原来的顺序构成一个k阶行列式 则称此行列式为矩阵A的一个k阶子式 如果矩阵A存在r阶子式不为零,而所有r+1阶 子式(如果有)都等于零,则矩阵A的不为零的子 式的最高阶数为r,因为由所有r+1阶子式都等于零 推出所有更高阶的子式都等于零

§2.5 矩 阵 的 秩 一、 矩阵秩的概念 定义 2.19 设A 是m×n矩阵，从A 中任取 k 行 k 列( 1≤k ≤ min{m, n}), 位于这些行和列的 相交处的元素，按原来的顺序构成一个k 阶行列式， 则称此行列式为矩阵A 的一个k 阶子式. 如果矩阵A 存在r 阶子式不为零，而所有r+1阶 子式（如果有）都等于零，则矩阵A 的不为零的子 式的最高阶数为r，因为由所有r+1阶子式都等于零 推出所有更高阶的子式都等于零

定义2.20设A为m×n矩阵,如果矩阵A中不等于 零的子式的最高阶数为r,则称r为矩阵A的秩,记 做秩(4)=r或r(A)=r 当A=O时,规定r(4)=0.显然r(A)=r(4,0≤r ≤min{m,n} 在这里,我们给出一个结论:n阶方阵A的秩等 于n的充分必要条件是A为非奇异矩阵 (即|A|≠0) 、利用初等变换求矩阵的秩 定理2.7矩阵经过初等变换后,其秩不变(证明略)

定义2.20 设A为m×n矩阵，如果矩阵A 中不等于 零的子式的最高阶数为r,则称 r 为矩阵A的秩，记 做秩(A)= r 或 r(A)= r. 当A=O 时，规定 r(A)=0. 显然 r(A)=r(AT), 0≤r ≤min{m, n}. 在这里，我们给出一个结论：n 阶方阵A 的秩等 于n 的充分必要条件是A为非奇异矩阵. (即︱A︱≠0 ). 二、利用初等变换求矩阵的秩 定理 2.7 矩阵经过初等变换后,其秩不变(证明略)

此定理表明矩阵A的秩与其标准形D的秩是相同 的,由于对矩阵A仅施以初等行变换可化为阶梯形矩 阵或行简化阶梯形矩阵,而这两种矩阵中非零行的行 数正是A化为标准形D后,D中单位矩阵I的阶数r, 因此,有下面的结论。 定理2.8矩阵A的秩等于它的阶梯形矩阵或行 简化阶梯形矩阵非零行的行数(证明略) 综上所述,可归纳出用初等变换求矩阵A的秩的方 法

此定理表明矩阵A 的秩与其标准形D 的秩是相同 的，由于对矩阵A 仅施以初等行变换可化为阶梯形矩 阵或行简化阶梯形矩阵，而这两种矩阵中非零行的行 数正是A 化为标准形D 后，D 中单位矩阵I 的阶数r ， 因此，有下面的结论。 定理 2.8 矩阵A 的秩等于它的阶梯形矩阵或行 简化阶梯形矩阵非零行的行数（证明略）. 综上所述，可归纳出用初等变换求矩阵A的秩的方 法

(1)A-初>标准形D=|→r(4)= 00 (2)A_初行换丶阶梯形矩阵或行简化阶梯形矩 阵B.设B的非零行的行数为k→r(A)=k 001 例1求矩阵A 120-1 的秩 3-104 解将A施以行、列初等变换化为标准形D

B . B A . A A . O O I O ( ) A D k r k r r r  = ⎯⎯⎯⎯→  =         ⎯⎯ ⎯→ = ( ) 2 1 ( ) 阵 设 的非零行的行数为 （ ） 阶梯形矩阵或行简化阶梯形矩 标准形 初等行变换 初等变换 例 1 求矩阵 的秩. 解 将A 施以行、列初等变换化为标准形D               − − = 1 4 5 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 0 0 1 A

0005005000 000 0tI70 0005 0000 020000 00050040 204 000 000 005 004 000 000 000100 00 故r(4)=3

A . A ( ) 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 5 4 0 0 0 0 0 2 0 2 1 0 0 1 0 4 5 0 0 1 0 1 0 2 0 2 1 0 0 1 1 4 5 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 0 0 1 =               ⎯→               ⎯→               ⎯→               − ⎯→               − ⎯→               − − ⎯→               − − = 故 r

例2求矩阵A= 的秩 解对A只进行初等行变换化A为阶梯形矩阵 A 1333 333 00000 故r(4)=2

例 2 求矩阵 的秩 解 对A 只进行初等行变换化A 为阶梯形矩阵. 故 r(A) = 2.               − − − − − − − − − = 3 1 0 0 2 1 3 2 2 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 A               − − − − ⎯→               − − − − − − − − ⎯→ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 3 1 1 2 1 1 1 0 5 3 3 1 0 5 3 3 1 0 5 3 3 1 1 2 1 1 1 A