38函数图形的描绘 我们利用导数讨论了函数的各种几何性质,下面我 们给出函数作图的一般步骤: (1)确定函数的定义域,判别函数是否具有周期性、奇 偶性, (2)求出f(x)及(x)的特殊点,如零点、驻点及不可 导点等, (3)以上特殊点将定义域分成若干子区间,列表确定函 数的单调区间、凸性区间、极值点以及曲线的拐点, (4)求出曲线的渐近线 (5)描绘函数的图像
3.8 函数图形的描绘 我们利用导数讨论了函数的各种几何性质，下面我 们给出函数作图的一般步骤： ⑴确定函数的定义域，判别函数是否具有周期性、奇 偶性， ⑵求出 的特殊点，如零点、驻点及不可 导点等， ⑶以上特殊点将定义域分成若干子区间，列表确定函 数的单调区间、凸性区间、极值点以及曲线的拐点， ⑷求出曲线的渐近线， ⑸描绘函数的图像. f (x)及f '(x)
例1描绘f(x) 4x 的图像 解(1)f(x)的定义域为(-∞,-1U(-,1)∪(,+∞), f(x)为偶函数,无周期 6x 2)f"(x)=-212,f"(x) 6(3x2+1) X f(x)的零点是x=±,f(x)的零点是x=0,f"(x)无 2 零点,在x=±1处,f(x)f(x),f"(x)均不存在
例1 描绘 的图像. 解 ⑴ 的定义域为 1 4 1 ( ) 2 2 − − = x x f x f (x) （−，−1）（−1，1）（1，+）， 为偶函数，无周期. 零点，在 均不存在. f (x) 的零点是 的零点是 无 2 3 2 2 2 ( 1) 6(3 1) , ''( ) ( 1) 6 (2) '( ) − + = − = − x x f x x x f x f (x) x = 1处，f (x), f (x), f (x) , ( ) 2 1 x = f x x = 0, f (x)
(3用x=-1,-,0,,1五点将定义域分成六个子 22 区间,并列表3-8讨论如下: 表3-8 x(-∞.-1)-1(412-1(1 2+ 2 f(x)+ ++ f"(x)+存 不 -6 不+ 在 存在 f(x)U个∩,0n个 极大值 n↓0∩ f(0)=1
⑶用 五点将定义域分成六个子 区间，并列表3-8讨论如下： ,1 2 1 ,0, 2 1 x = −1,− x (1,+) 2 1 −1 ) 2 1 (0, ,0) 2 1 (− 2 1 ) − 2 1 (−,−1) (−1,− f '(x) f ''(x) f (x) , , f (0) = 1 , , 0 1 + 不 存 在 + + + 0 - - - 不 存 在 - + - - - -6 - - - + 0 极大值 0 表3-8 ,1) 2 1 ( , ,
)因为m,/(x)=∞,m 所以x=±1均为铅垂渐近线 又因为imf(x)=4, x→00 所以y=4为一条水平渐近线 (5综合以上分析,可描绘出y=f(x)的图像, 如图3-18
所以 为一条水平渐近线. ⑸综合以上分析，可描绘出 的图像， 如图3-18. y = 4 y = f (x) ⑷ 因为 所以 均为铅垂渐近线. 又因为 ， lim ( ) ,lim ( ) , 1 1 = = →− → f x f x x x x = 1 lim ( ) = 4 → f x x
图3-18 60 20 20 40
图3-18
例2描绘f(x) 的图像 x2+1 解(①)f(x)的定义域为(-∞+∞),f(x)为奇函数, 无周期 ∫(x) ,八"(x) x(x2-3) 1) 2( (2)f(x)零点是x=0,f(x)的零点是x=±1f"(x)的 零点是x=0x=±3,f(x,f(x,(x)在(-,+0) 上都存在 )用x=-√3,-1,0,1,√3五点将定义域分成六个 子区间,并列表3-9讨论如下:
⑶用 五点将定义域分成六个 子区间，并列表3-9讨论如下： ⑵ 的零点是 的零点是 的 例2 描绘 的图像. 解 ⑴ 的定义域为 为奇函数， 1 ( ) 2 + = x x f x f (x) (−,+), f (x) 2 3 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 3) , ''( ) ( 1) 1 '( ) + − = + − = x x x f x x x f x f (x) x = 0, f '(x) x = 1, f ''(x) x = − 3，−1，0，1， 3 零点是 x = 0, x = 3, f (x), f '(x), f ''(x)在（− ,+） 上都存在. 无周期
表39 x(a-3(-D)-1(4000)1(3)√3(3,+) 0+++0 八(x) +++0 0+ ()n4-2u4-u↑0n个n3U↓ 4
x − 3 (1, 3) 3 ( 3,+) (−,− 3) (− 3,−1) f '(x) f ''(x) -1 (-1.0) 0 (0,1) 1 - - - 0 + + + 0 - - - - 0 + + + 0 - - - 0 + 0 f (x) 4 , 3 − , 2 1 − , 2 1 4 3 , , , 表3-9
由以上讨论可知:函数在x=-1处取板小值,(1)=-2 在x=1处取极大值,f()=2,且f(-1)和f(1)也是在定义 域中的最小值和最大值曲线有三个拐点,分别为: (-√3,-)(0),(53,A (4)因为mf(x)=im-2,=0 所以y=0为一条水平渐近线 (5)综合以上分析,可描绘出y=f(x)的图像,如 图3-19
由以上讨论可知：函数在 处取极小值， 在 处取极大值， 且 也是在定义 域中的最小值和最大值.曲线有三个拐点，分别为： ⑷ 因为 所以 为一条水平渐近线. (5) 综合以上分析，可描绘出 的图像，如 图3-19. ). 4 3 ), (0,0), ( 3, 4 3 (− 3,− 0. 1 lim ( ) lim 2 = + = → → x x f x x x y = 0 y = f (x) x = −1 , 2 1 f (1) = f (−1)和f (1) . 2 1 f (−1) = − x =1
Y 0.4 20 10 10 20 0.2 图3-19
图3-19
