§33向量组的秩 极大无关组 对于一个线性相关的向量组来说,可能含有线性 无关的部分组. 例如向量组:0=(1,1,3),a2=(-1,0,2),a3=(1,2:8) 因为2a1+a2a3=0,所以a1,a2,a3是线性相关的, 然而a1,a2a3中任意两个向量所对应的分量皆不成 比例,因此,其部分组a1是线性无关的;部分组a1a2 也是线性无关的于是有下面定义:
§3.3 向量组的秩 一、极大无关组 对于一个线性相关的向量组来说, 可能含有线性 无关的部分组. 例如向量组:α1= (1,1,3) ,α2=(-1,0,2),α3=(1,2,8) 因为2α1 +α2 -α3= 0, 所以α1 ,α2 ,α3 是线性相关的， 然而α1 ,α2 ,α3 中任意两个向量所对应的分量皆不成 比例, 因此, 其部分组α1是线性无关的; 部分组α1 ,α2 也是线性无关的. 于是有下面定义：
定义36一个向量组中有m个向量,其中r (r≤m)个向量a,a2,…,an如果满足: (1)a1,a2,…an线性无关; (2)在a1,a2,…,a1中再添加原向量组中任何 个向量得到的向量组都线性相关, 则称a1,a2,…a.为原向量组的一个极大无关 部分组,简称极大无关组
定义3.6 一个向量组中有m个向量，其中r (r ≤ m) 个向量 α1 , α2 , ···,αr , 如果满足： (1) α1 , α2 , ···,αr 线性无关； (2) 在α1 , α2 , ···,αr 中再添加原向量组中任何 一个向量得到的向量组都线性相关, 则称 α1 , α2 , ···,αr 为原向量组的一个极大无关 部分组，简称极大无关组
例1已知向量组为a1=(1,1,-1,0,1)a2=(2,2,-2,0,2) 3=(1,1,0,1,0),4=(0,0,-1,-1,1,a=(2,2,-1,1,1), a=(1,0,-1,-1,1)验证a1a32a为原向量组的一个 极大无关组 证明令k1+k2a3+k36=0,得到 k1+k2+k3=0,k1+k2=0,-k1-k3=0, k2-k3=0,k1+k3=0
例1 已知向量组为α1=(1,1,–1,0,1),α2=(2,2,– 2,0,2), α3=(1,1,0,1,0),α4=(0,0, – 1, – 1,1), α5=(2,2, – 1,1,1), α6=(1,0, –1,– 1,1). 验证α1 , α3 , α6为原向量组的一个 极大无关组. 证明 令 k1α1 + k2α3+ k3α6 = 0, 得到 k1+ k2+ k3 = 0, k1 + k2 = 0, – k1 – k3 = 0, k2 – k3 =0, k1 + k3 =0
解之得k1=k2k3=0,可知a1,a32a线性无关 可求得2a1-a2+0a3+0a6=0, 01-a3-a4+0a6=0, 01+a3-a5+0a6=0 它们表明,在a1,a3a中再添加原向量组中任一向 量所得的向量组皆线性相关
解之得 k1 = k2= k3 = 0, 可知 α1 , α3 , α6 线性无关. 可求得 2α1 – α2 + 0·α3+ 0·α6 = 0, α1 –α3 – α4+ 0·α6 = 0, α1 + α3 – α5+ 0·α6 = 0, 它们表明,在α1 ,α3 ,α6中再添加原向量组中任一向 量所得的向量组皆线性相关
结论:任何一个向量组a1,a2,…,an(m≥2) 只要含有非零向量,就一定有极大无关组;如果 个向量组有极大无关组,往往极大无关组不止 个对于一个线性无关的向量组,它的极大无关 组就是其本身 定理35同一个向量组的任何两个极大无关组都 含有相同个数的向量(证略)
结论: 任何一个向量组α1 , α2 , ···, αm(m≥2) 只要含有非零向量，就一定有极大无关组；如果 一个向量组有极大无关组，往往极大无关组不止 一个. 对于一个线性无关的向量组，它的极大无关 组就是其本身. 定理3.5 同一个向量组的任何两个极大无关组都 含有相同个数的向量.(证略)
二、向量组的秩 定义37向量组a1,a2,…an的极大无关组所含 向量的个数,称为向量组的秩记作r(a1,a2,…;an) 规定全由零向量组成的向量组的秩为零
二、向量组的秩 定义3.7 向量组 α1 , α2 , ···,αm 的极大无关组所含 向量的个数,称为向量组的秩,记作 r (α1 , α2 , ···,αm). 规定全由零向量组成的向量组的秩为零
定理36两个等价的向量组有相同的秩(证明从略) 定理37对任意m×n矩阵A均有:矩阵A的秩等于 矩阵A的行秩也等于矩阵A的列秩(证明从略) 此定理表明:矩阵的秩、矩阵的行秩、矩阵的列 秩都相等.因此,求向量组的秩、判断向量组是否线 性无关都可以利用矩阵的秩确定
定理3.6 两个等价的向量组有相同的秩(证明从略). 定理3.7 对任意m×n 矩阵A均有: 矩阵A的秩等于 矩阵A的行秩,也等于矩阵A的列秩(证明从略). 此定理表明：矩阵的秩、矩阵的行秩、矩阵的列 秩都相等. 因此, 求向量组的秩、 判断向量组是否线 性无关都可以利用矩阵的秩确定
例2求向量组 a1=(1,2,1,12-1),a2=(2,1,-1,1,-1),03=(1,3,-2 4,8),a4=(3,-1,0,0,-2),a=(4,-3,1,0,1)的秩 解设矩阵|a1|21-1-1-1 13-2-48 3-100-2 4-310 用初等行变换化为阶梯形矩阵
例2 求向量组 α1 = ( 1,–2,1,1, –1), α2 = ( 2,1,–1,–1,–1),α3 = (1,3, –2, – 4,8), α4 = (3, – 1,0,0,– 2), α5=(4,– 3,1,0,1) 的秩. 解 设矩阵 用初等行变换化为阶梯形矩阵 − − − − − − − − − − = = 4 3 1 0 1 3 1 0 0 2 1 3 2 4 8 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 5 4 3 2 1 α α A
211 A→05-3-31→000-28→000 05-3-590000000000 此阶梯形矩阵有三个非零行,故r4)=3.向量组 a1,a2,a3O4a的秩也为3,即 r(a1,O2,a32O4,05)=3
此阶梯形矩阵有三个非零行，故 r(A) = 3. 向量组 α1 , α2 , α3 , α4 ,α5的秩也为3, 即 r(α1 , α2 , α3 , α4 ,α5 ) = 3. − − − − − → − − − − − − → − − − − − − − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 5 3 3 1 1 2 1 1 1 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 2 8 0 5 3 3 1 1 2 1 1 1 0 5 3 4 5 0 5 3 5 9 0 5 3 3 1 0 5 3 3 1 1 2 1 1 1 A
例3判断下面向量组的线性关系: a=(3,1,2,4),02=(2,1,4,3),a3=(1,0,1,0) 解以a,a2a3为行向量作矩阵A, 3124) 2143 1010 用初等行变换化A为标准形D 000 A=2143-0100 r(4)=3,故r(a12ax3)=3,所以a1,a2,a3线性无关
例3 判断下面向量组的线性关系： α1= (3,1,2,4) , α2 = (2,1,4,3), α3 = (1,0,1,0) 解 以 α1 , α2 , α3为行向量作矩阵A, 用初等行变换化 A为标准形D. r(A) = 3,故 r(α1 ,α2 ,α3 ) = 3, 所以α1 ,α2 ,α3线性无关. = = 1 0 1 0 2 1 4 3 3 1 2 4 3 2 1 α α α A → = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 1 4 3 3 1 2 4 A