《线性代数与空间解析几何》 习题解答 哈尔滨工业大学数学系
目录 习题一………………………………………………(1) 习题二………………………………………(16) 习题三 …(38) 习题四……………(49) 习题五… 习题六 习题七… 习题八………………………………………………(95) 综合练习100题……………………………(118)
习题 1.按自然数从小到大的自然次序,求解各题。 (1)求1至6的全排列241356的逆序数 解:t(241356)=0+0+2+1+0+0=3 (2)求1至2n的全排列13…(2n-1)24…(2n)的逆序数; 解:t(13…(2n-1)24…2n)=0+0…+0+(n-1)+(n-2)…+2+1+0 n(n-1 (3)选择i与j,使由1至9的排列9127456成偶排列。 解:由9127456是从1至9的排列,所以只能取3或8,当i=8,=3时 t(912748563)=0+1+1+1+2+1+3+3+6=18是偶排列 当 时 t(912743568)=0+1+1+1+2+3+2+2+1=13是奇排列,不合题意舍去。 (4)选择i与j使由1至9的排列71i25489成奇排列 解:由7125j489是从1至9的排列,所以只能取3或6 当i=3,=6时 t(713256489)=0+1+1+2+1+1+3+0+0=9是奇排, 当i=6,j=3时 t(716253489)=0+1+1+2+2+3+3+0+0=12是偶排列,不合题意舍去。 2.计算下列行列式 (1) =9×13 =117(a2-4b2) 26b13a 321533205332053+10032053|3205332053 752847518475184+10075184751847518410075184 =0+7518400-3205300=4313100 1082 222 3=5×4333|=0 41812 (4) bd -cd de=abode 11=abedef0 0 2
abode 0 2 0=4abcde 3.已知302=1,利用行列式性质求下列行列式。 (1)|3x+33y3x+2=302|=2|302 x+2y+2z+2||222 111 +1y+1z+1 302+302 413|41 302+302+302+30由eA+1+0+0=1 111 5032 2040 解原式=(-1)2×3×310=(-1)×3x2x/3 2 240 (4)Dn 1,2,…,n) XI 解原式=0ax 0 0a
1+ 0 0 0 0 0 点x2)m 4.用行列式定义计算: 010 0 (1) 3 (2) 5 00 0 X1 X2 (3) (4) 0 00 X2 0 00 解:(1) =∑(-1)"a1a2pa31,aa3 5 =(-1)43a13axa3aa3 -1)×1×2×3×4×5=120 002 …|=∑(-1)-aman1…a
=(-1)1×1×2×3×…xn=(-1)“ln! a3 a3 a31 ay a3 (3)原式=aan000=0 000 (4)原式=(∑x-m ,,,,,, 5.用行列式的定义证明: auau0 0 a2 a 00 an a (1)000ayas=0(2) 000 证:1)1D=000aa=(-1)y43an.20n吗 000 假设有a1a2.a1a4a9≠0,由已知PP4P3必等于4或5,从而PPP2至少有两个 相等,这与PP2PPP是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾故所有项叫aa叫a=0
因此D=0 00 证:(2) ,PPP) a2,ama4,由已知,只有当P1P2 a31 an an au 取1或2时,a吗2吗a≠0,而PB2BP是1,2,3,4的一个全排列故BP取3或4 于是D=(-1)41°a1a2ana4+(-1)421413ama2aya+(-1)42130)aaa2a3a4+ (-1)243ana2 ag an an a4- anan au a0-a12a2 an a4 an a21 y ao =(auan-ana2cayau-ayao) an ana3a4-4114n u40-412a21 an a4 a12 21 434 44 D 6.计算 305 0b02|按第4 (1) (-1)4d0b0 (-1)33de = dcab c3|行展开 刂展开 0 6 12 021110211102111 (2) 403660366 00-37 00-36 000-1 (n-1)a+x(n-1) n-10+x ri t I
n 0 0 =〔(n-1)a+x)(x-a)”1 123 12+3 23 0 0 C+c (4)D。=-101…0 0 01 100 0 00 1+2+3+…+n n(n 00 0 (5)D=00 0 100 0 0 0 按第1行展开 0 0 1)}la + 00 00 1)(-1) 2 11 0-20 (6)D 00-2
(-2)-1=(-1)…12-1 7.证明: 2 b2b=(a-b)3 b2 +6 26 6 a+6-26 26 (-1)3 (a-b)2 (a-b)3 11 a2(a+1)2(a+2)2(a+3) b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2 (2) c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2 十 1a2+4a+4a2+9a+9 证:等式左嶝。|b2b2+2b+1b+4b+4b2+9b+9 2c2+2c+1c2+4c+4c2+9+9 a2+4d+4d+9d+9 a22a+14a+49a+9 c+(-1)cb22b+14b+49b+9 8:{-8|2+14 d 9 2a+1 b22b+1b+1b+1 1c+1 d22d+1d+1d+1
=4×9×0=0=等式右端。 I x1+a, x+b121+b2 x+c,*+c24,+61 41 xi xf 1 x2+a1 x2+61*2+62 x2+cx2+C*2+c, x2 22 (3) b1x3+b2x+1x+2x+ 1x4+a1x2+b1x4+b2x+c1x2+ +5.x +cirit cnx 等式左端C+(-a)1x对+的有可+对+ +(-b)1x3x+bxx+日+的高 +c1x4+c2x4 x2 x+cx2 c+(-b)1x2n+班c(-)1为对对 等式 c+(-q2)C2 x2+c,x2 x x 2 x4+Cx2 右端。 8.解关于未知数x的方程 0 2 解:3x-26=(x-1) 00 =(x-1)(x(x-2)-3)=(x-1)(x2-2x-3)=(x-1)(x-3)(x+1)=0 aa (2)mmm=0(m≠0) 解:m
