23高阶导数 、高阶导数的定义 二、高阶导数的求法 隐函数的二阶导数 四、参数方程确定的函数的二阶导数
2.3 高阶导数 一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求法 三、隐函数的二阶导数 四、参数方程确定的函数的二阶导数
高阶导数的定义 若y=f(x)导数(x)仍然是可导函数, 则导数=f(x)导数叫做函数=f(x)的 二阶导数记y"或 12yN,f"(x) 做 dx dx dx d dd dx dx f'(x+△x)-f(x) 即f(x)=lim △->0 △x
一、高阶导数的定义 若 y = f (x)的导数f (x)仍然是可导 二阶导数, 即 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 记 做 函数, 则导数y = f (x)的导数叫做函数y = f (x)的 , , ( ). 2 f x x y x x y y = d d d d d d 2 或 （ ） ( ) , . 即 2 （ ） x y x x y y y d d d d d d 2 = =
类似地二阶导数的导数叫做三阶导数 阶导数的导数叫做四阶导数 (n-1阶导数的导数叫做n阶导数 分别记作y",y(,…,y dy d 或 dx dx dx y=f(x)具有m阶导数也说函数=f(x)为 n阶可导二阶及二阶以上的导数称为高阶导数
类似地,二阶导数的导数,叫 做三阶导数, 三阶导数的导数,叫做四阶导数, (n − 1)阶导数的导数,叫做n阶导数. ( ) ( ) , , , 4 n 分别记作 y y y , , , . 4 4 3 3 n n x y x y x y d d d d d d 或 y = f (x)具有n阶导数,也说函数y = f (x)为 n阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
例如,设作变速直线边的物体的运动 方程为s=s(),则其速度为 =s(或 dt 加速度为a=v()=s" dy ds 或 dt dt
例如，设作变速直线运动的物体的运动 加速度为 a = v(t) = s(t) s = s(t),则其速度为 ( ) t s v s t v d d = 或 = 2 2 t s t v a d d d d 或 = = 方程为
、高阶导数的求法 例1已知y=ax+b,求y" 解y 例2已知s= sinat,求s 解s'= ocos ot, s"=-0- sinat
y = ax + b, 求 y . y = a, y = 0. 例1 已知 解 二、高阶导数的求法 s = sint, 求 s . s = cost, 例2 已知 解 sin . 2 s = − t
例3证明函数=√2x-x2满足yy"+1=0 2-2x 证 2y2x-x2√2x-x 2 X-x 2x-x 2 2x-x2 2 2x+x2-(1-x) (2x-x2)2x-x2(2x-x 23/2 3 +1=0
例 3 2 1 0 2 3 证明函数y = x − x 满 足 y y + = 证 , 21 2 22 2 2 2 x xx x xx y −− = − − = 2 2 2 2 21 2 ( 1 ) x x x xx x x x y − −− − − − − = 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 1 ) x x x x x x x − − − + − − = , 1 ( 2 ) 1 2 3 2 3 x x y− = −− = 1 0 . 3 y y + =
例4设y=ex,求y 解 J≡e";y≡e",y=e e e,即(e) 类似地,y=a,y=alma,y"=a(nd)2, a In a a"In a
例4 , . x (n) 设y = e 求y 解 y = e x , y = e x , y = e x , y (4) = e x , n x x n x y = e e = e ( ) ( ) , 即 ( ) , ln , (ln ) , 2 y a y a a y a a x x x 类似地, = = = ( ) (ln ) . n x n y = a a ( ) ( ) (ln ) . x n x n a = a a
例5求正弦函数及余弦函数的n阶导数 yd A y=sinx, y'=coS x=sin(x y"=cos(x+)=si(x+2·), J”=coS(x+2.2 sin(x+3 (n)=sin(x+n 即(inx)=sin(x+n·) 类似地,(cosx)=cos(x+n·“)
), 2 sin , cos sin( y = x y = x = x + ), 2 ) sin( 2 2 cos( = + y = x + x π π cos( 2 ) sin( 3 ), , 2 2 y x x = + = + ( ) ). 2 sin( y = x + n n 例5 求正弦函数及余弦函数的n阶导数. ( ) ). 2 (sin ) sin( x = x + n 即 n 类似地, ( ) π (cos ) cos( ). 2 n x x n = + 解
例6求y=hn(+x)的n阶导数 解y=ln(+x 1+x 1·2 1·2·3 (1+x) p=(-D(n-l) 1+x) 即[n(1+x)=(-1) (n-1)! 1+x) 规定0=1,此式当n=0时也成立
求 y = ln(1+ x)的n阶导数. ( ) , 1 1 ln 1 , x y x y + = + = ( ) , 1 1 2 3 x y + = ( ) , 1 1 2 x y + = − ( ) ( ) , , 1 1 2 3 4 4 x y + = − ( ) , (1 ) ( 1)! ( 1) 1 n n n x n y + − = − − . (1 ) ( 1)! [ln(1 )] ( 1) ( ) 1 n n n x n x + − + = − 即 − 规定0!=1, 此式当n=0 时也成立. 例6 解
例7求幂函数的n阶导数公式 解设y=x",为常数 u41,y"=(u-1)x2 y"=山-1X -2)x43 ,0)=(-1)(-2)(-n+1)x"n 即(x2)0=(x-1)u-2)…(x-n+1) 当=m时,(x n(n-1)n-2)-…3.2.1=n! 显然(x")m+=0
例7 求幂函数的n 阶导数公式. 解 设y x , μ为常数, = , −1 = y x ( 1) , −2 = − y x ( 1)( 2) , , y = − − x −3 ( ) ( 1)( 2) ( 1) , n n y n x − = − − − + ( ) ( ) n , x n(n 1)(n 2) 3 2 1 n! n n 当 = 时 = − − = ( ) ( 1)( 2) ( 1) , n n x n x − = − − − + 即 （ ） 0. ( 1) = n+ (x ) 显然 n