1.2函数的极限 我国晋朝时代数学家刘徽—割圆术 依次求出圆内接正六边形,正十二边形, 正二十四边形,正6×2n-1 边形的面积:A1,A2,…,An,…, 正多边形的面积An 就接近于对应圆的面积 “割之弥细,所失弥少. 割之又割,以至于不可割, 则与圆合体而无所失矣
1.2 函数的极限 我国晋朝时代数学家刘徽——割圆术 , , , , , A1 A2 An 依次求出圆内接 正六边形，正十二边形，…… 就接近于对应圆的面积. 则与圆合体而无所失矣”. 1 6 2 − n 正 边形的面积： 正二十四边形， 正多边形的面积An “割之弥细，所失弥少. 割之又割，以至于不可割
数列的概念 按照一定的顺序排成的一列数x1,x2,x32…2Xn, 叫做一个数列,记为{xn}x,称为一般项(通项) xn=f(m,为通项公式 几何上xn河可看作是一个动点,做次取数轴上的点 例如: 123 n+1 234 n+1 (2)xn=(-1)2n,-2,4,-6,8,…,(ly2h
一、数列的概念 xn 称为一般项（通项）， x f (n), 为通项公式. n = , , , , , , x1 x2 x3 xn . 记为 xn 按照一定的顺序排成的一列数 几何上，xn 可看作是一个动点，依次取数轴上的点 . . . . . . . . . . . x2 x1 x3 xn 叫做一个数列， + 1 = n n xn 例如： , 1 , , 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n x ( 1) 2n, n n = − 2, 4, 6, 8, , ( 1) 2n, n − − − （1） （2）
、数列的极限的定义 对数列xn要讨论的问题:当无限增大 (n→>∞)时,xn=f()的变化趋势? 观察数列:(3)x.=n +(-1) 1+(-1)y 143656 n+(-1 23 567 当n越来越大时,x越来越接近于常数
二、数列的极限的定义 对数列xn 要讨论的问题：当n无限增大 观察数列： ( ) , 1 , 7 6 , 6 5 , 5 6 , 4 3 , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 n n n x n n n = + − + − = − − 当 越来越大时， 越来越接近于常数1. n xn xn = f (n)的变化趋势？ （3） (n → )时
定义1.9对于数列{xn},如果当n无限变大时,xn 无限取近于一个确定的常数A,则称当n趋向于无穷 大时,数列{xn}以A为极限,记作 imxn=A或xn→A(→) n→0 数列{xn}以A为极限,称该数列收敛于A;如果数列 xn}没有极限,称{xn}发散 如前面数列(1)与(3)是收敛的 而数列(2)是发散的
定义1.9 对于数列{xn }，如果当n无限变大时，xn 无限取近于一个确定的 常数A，则称当n趋向于无穷 大时，数列｛xn｝以A为极限，记作 xn A n = → lim x → A (n → ). 或 n 数列｛xn｝以A为极限，称该数列收敛于A；如果数列 ｛xn｝没有极限，称｛xn｝发散. 如前面数列（1）与（3）是收敛的. 而数列（2）是发散的
、函数的极限 1自变量趋于无穷时函数的极限 例设f(x)=当|x无限增大(x→∞)时, f(x)无限接近于0((x)→0 定义1.10如果当自变量x无限增大时,函数f(x) 无限趋近于某个确定的常数,则常数A称为函数fx) 当x→)+0时的极限记做 imf(x)=A或∫(x)→(x→+a) x→+0 类似地可得到极限Imf(x)=A的定义
三、函数的极限 1.自变量趋于无穷时函数的极限 x f x 1 ( ) = 当 x 无限增大(x → ) 时, f (x)无限接近于0(f (x) → 0). 例 设 定义1.10 如果当自变量x无限增大时，函数f(x) 无限趋近于某个确定的 常数A，则常数A称为函数f(x) x → + 时的极限.记做 lim ( ) = ( ) → ( → + ). →+ f x A f x A x x 或 类似地可得到极限 lim f (x) A x = →− 的定义. 当
定义1.11如果imf(x)=limf(x)=A则常数 A称为函数f(x)当x→∞时的极限记做 imf(x)=A或f(x)→4(x→) x→0 例1由图(1)可以看出 li = i =0 x→+oy x-0 x 所以lim 0 x→∞y-1 x=0是函数 1的水平渐近线
定义1.11 如果 A称为函数f(x)当 x → 时的极限.记做 f x f x A x x = = →− →+ lim ( ) lim ( ) lim ( ) = ( ) → ( → ). → f x A f x A x x 或 x y 0 1 1 1 y − = x 图（1） 例1 由图（1）可以看出 0 1 1 lim 1 1 lim = − = x→+ x − x→− x 0 1 1 lim = 所以 x→ x − x = 0 是函数 的水平渐近线. 1 1 − = x y 则常数
例2y= arctan x lim arctan x lim arctan x→+0 T T 直线y=-,y 2 是函J= arctan x的水平渐近线 数 因为 元 元 lim arctan x=-= lim arctanx= 2 →+0 x→-0 2 所以 lim arctan x不存在 X 2 如图(2) 图(2)
例2 y = arctan x = →+ 2 lim arctan x x 因为 lim arctan x 所以 x→ 不存在. 2 lim arctan x = − →− x 如图（2）. , 2 lim arctan π = →+ x x , 2 lim arctan π = − →− x x 是函 的水平渐近线. 数 直线 2 , 2 y = y = − y = arctan x , x y 0 1 图（2） 2 π 2 π −
例3求(1)im(2)(2)m2 x→+Q x→-0 解观察图(3)可知 2 1)lim()=0 x→+0 2 (2)lim2=0 图(3)
例3 求（1） x x ) 2 1 lim ( →+ x x (2) lim 2 →− 解 观察图（3）可知 图（3） ) 0 2 1 (1) lim ( = →+ x x (2) lim 2 = 0 →− x x , . , . x y ) 2 1 = ( x y = 2 y o x 1
2自变量趋于有限值(x→x)时f(x)的极限 考察当自变量无限接近于1时,函数f(xys+-1 x-1 的变化趋势 函数/(x)=x的定义域:x≠1.p 从图中不难看出: 当x≠1时,f(x) x-1x+1 当x从的左、右沿轴无限接近于时, ∫(x)沿y轴就无限趋近于
1. 1 1 ( ) 2 − − = x x x 函 数f x 的定义域： = x + 1 当x从1的左、右沿x轴无限接近于1时, f (x)沿y轴就无限趋近于2. x 。 。 。 f (x) (x, f (x)) y 1 2 x 2.自变量趋于有限值 ( ) 0 x → x 时 f (x) 的极限 的变化趋势. 考察当自变量无限接近于1时，函数 1 1 ( ) 2 − − = x x f x 1 1 1 ( ) 2 − − = x x 当x 时， f x 从图中不难看出：
定义112设f(x)在点x的某一去心邻域内有定义, 如果当x无限趋近于定值x0(x≠x时,函数(x)无限 趋近于某个确定的常数A,则常数4称为函数fx)当 x→x0时的极限记作 imf(x)=A或f(x)→4(x→x →r 由定义可知 (1) lim x=x 0 x→)x (2)limc=c(c为常数) x→>x
定义1.12 设f (x)在 点x0 的某一去心邻域内有定义 ， 如果当x无限趋近于定值 x0 (x x0 ) 时，函数f(x)无限 趋近于某个确定的 常数A，则常数A称为函数f(x)当 x → x0 时的极限.记作 lim ( ) ( ) ( ). 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 ⑴ ⑵ 0 , 0 lim x x x x = → 由定义可知 c c x x = → 0 lim （c 为常数）