53定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元积分法 定理53若函数f(x)在区邮[ab]上连续函数 x=(t),满足下列条件 (1)x=0()在区间a,B上有连续的导数g(t)
5.3 定积分的换元法与分部积分法 一、定积分的换元积分法 f (x)在区间[a,b]上连续,函数 x = (t), 满足下列条件: x =(t)在区间[a,]上有连续的导数'(t), 定理5.3 若函数 （1）
2)当油Q变到耐时,o()从(a)=a单调地变到o()=b则有 f(x dx=L[p(D)lo( )dt 称该公式为定积分的换元公式 证设F(x)是f(x)一个原函数则 f(xXx= F(b-f(a 又由于[F((t)]=F"(x)·q(t)=f(x)·(t)
t由变到时,(t)从() = a单调地变到() = b,则有 = b a f x x f t t t ( )d [( )]'( )d , F(x)是f (x)的一个原函数,则 = − b a f (x)dx F(b) F(a). [F((t))]' = F'(x) '(t) = f (x) '(t) (2) 当 证 设 称该公式为定积分的换元公式. 又由于
=f[g(t)]·q(t) 即Fo()是f([m()q()的一个原函数因此 /ol()=F() Fl B]-Fl(al F(6-F(a)
即 = f [(t)]'(t), F[(t)]是f ([(t)]'(t)的一个原函数,因此 a f [ (t)] '(t)dt F[ (t)] = = F[()] − F[(a)] = F(b) − F(a)
所以 f(x)dx=flo(tlo(t)dt 从左向右使用公式,相当于不定积分的第二换元法, 从右向左使用相当不定积分的第一换元积分法在使用定 积分换元积分公式时,要特别注意用x=q(t)进行代换 的同时,积分上下限应同时换成新变量的积分上下限
所以 从左向右使用公式，相当于不定积分的第二换元法， 从右向左使用相当不定积分的第一换元积分法.在使用定 积分换元积分公式时，要特别注意用 进行代换 的同时，积分上下限应同时换成新变量的积分上下限. = b a f x dx f t t dt ( ) [( )]'( ) . x = (t) t
例1求 ax 解设√x=t,则x=t2,dx=2d, 当x=4时,t=2,x=9,t=3,于是
例1 求 9 4 1 d 1 x x − 解 设 2 x t x t x t t = = = , ,d 2 d , 则 当x = 4时,t = 2, x = 9时,t = 3,于是
2 2dt=(2+-)d [2+2n(t-1) (6+2ln2)-(4+2lnl)=2+2ln2
− = + − = − 9 4 3 2 3 2 )d 1 2 2 d (2 1 1 d 1 1 t t t t t x x 3 2 = [2t + 2ln(t −1)] = (6 + 2ln 2) − (4 + 2ln 1) = 2 + 2ln 2
例2求 a'-xd 解设x= a t,dx= a cos tdt,￥1x=O时,t=0, x=时,t=-,所以 2 xdx=2 acost (acost dt=a2 cos tdz a (2(1+cos 2t dt C几 T (t+-sin 2t 一20 +0) 4
例2 求 解 设 − a a x x 0 2 2 d . x a t x a t t x t = = = = sin ,d cos d , 0 , 0, 当 时 π , , 2 x a t = = 时 所以 π π 2 2 2 2 2 2 0 0 0 d cos ( cos )d cos d a a x x a t a t t a t t − = = 2 π 2 0 (1 cos2 )d 2 a = + t t π 2 2 2 2 0 1 π π ( sin 2 ) ( 0) . 2 2 2 2 4 a a a = + = + = t t
该定积分的几何意义是半径为a,以原点为圆心的 员在第一象限内的面积,即该圆面积的四分之 例3求 sin x cos rdx 解法1 sinx cos xax sin xa(sinx 0 sin x
该定积分的几何意义是半径为 以原点为圆心的 圆在第一象限内的面积，即该圆面积的四分之一. a, 2 0 sin cos d . x x x x 解法1 π 2 2 0 0 sin cos d sin d(sin ) x x x x x x = . 2 1 sin 2 1 2 0 2 = = x x 例3 求
解法2设t=sinx,dt= cos xd 当x=0时,t=0,x= 时,t=1,于是 sin xcos xdx= tdt==t 2 该例解法1未引入新的变量,因而积分限不需改变, 解法2引入了新的变量,所以积分限必须换成新积分变量 对应的积分限
解法2 设 π 0 , 0, , 1, 2 当 时 时 于是 x t x t = = = = π 1 1 2 2 0 0 0 1 1 sin cos d d 2 2 x x x t t t = = = 该例解法1未引入新的变量，因而积分限不需改变， 解法2引入了新的变量，所以积分限必须换成新积分变量 对应的积分限. t x t x x = = sin ,d cos d
例4设f(x)在对称区间[-a,a],(a>0)上连续, 证明:(1)当/(偶函数时,/(xx=2D/(x (2)当f(x)为奇函数时,_f(x)dx=0 证(1)因为f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x) f(x)dx=f(x)dx+ f(x)dx 对其中f(x)dx.,使用换元积分法, 令x=-1,则dx=-dt,当x=-l时,t=a,x=O时,t=0,所以
例4 设 在对称区间 ＞0)上连续， 证明:（1）当 为偶函数时， （2）当 奇函数时， f (x) f (x) [−a, a],(a − = a a a f x x f x x 0 ( )d 2 ( )d , f (x)为 − = a a f (x)dx 0. 证 （1）因为 偶函数，即 则 对其中 使用换元积分法， f (−x) = f (x), ( )d ( )d ( )d , 0 0 − − − = + a a a a f x x f x x f x x a f x x 0 ( )d . f (x)为 令 x = −t,则dx = −dt,当x = −a时,t = a, x = 0时,t = 0,所以