14极限的性质及四则运算法则 、极限的性质 1惟一性 2有界性 3保号性 4夹逼定理 二、极限的四则运算法则
1.4 极限的性质及四则运算法则 一、极限的性质 二、极限的四则运算法则 1.惟一性 2.有界性 3.保号性 4.夹逼定理
14极限的性质及四则运算法则 、极限的性质 1.(惟一性)若极限im∫(x)存在,则极限值惟 2.(有界性)若极限himf(x)存在,则函数∫(x) 在x0的某个空心邻域内有界 3.(保号性)若imf(x)=A且A>0(40(f(x<0) 4.(夹逼定理)若limf(x)=limg(x)=A且 ∫(x)≤(x)≤g(x),则limh(x)=A
1.4 极限的性质及四则运算法则 一、极限的性质 1.（惟一性） lim ( ) 0 f x 若极限 x→x 存在，则极限值惟一. 2.（有界性） 若极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在，则函数 f ( x) 在 x0 的某个空心邻域内有界. 3.（保号性）若 f x A x x = → lim ( ) 0 且 A 0 (A 0), 的某个空心邻域内恒有 则在 0 x f (x) 0 ( f (x 0)) 4.（夹逼定理）若 f x g x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 且 f (x) h(x) g(x), 则 lim ( ) . 0 h x A x x = →
二、极限的四则运算法则 定理3如果lmf(x)=A,limg(x)=B,则 l.in[/(x)±g(x)]=limf(x)±g(x)=A土B 2. lim f(x)g(x)=lim f(x).im g(x)=AB (1)imef(x)=cimf(x)=c4c为常数), (2)lim|∫(x)"=[im∫(x)! 3. lim f(x) lim f(x) A (B≠0) g(x) lim g(x b
如果 lim f (x) = A, lim g(x) = B, 则 1. limf (x) g(x) = lim f (x) g(x) = A B. 2. lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x) = AB. (1) lim cf (x) = c lim f (x) = cA (c为常数), lim[ ( )] [lim ( )] . n n (2) f x = f x B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 3. lim (B 0) 二、极限的四则运算法则 定理1.3
证(1)因为limf(x)=A,limg(x)=B, 根据定理12f(x)=A+a,g(x)=B+B 其中ima=0,imB=0, 于是 f∫(x)±g(x)=(4+a)(B+B)=(A土B)+(a±B), 再由定理12和无穷小的性质得 imf(x)±g(x)=A±B (2)与(3)的证明可类似给出 注性质1可推广至有限个函数代数和的情形
证（1）因为 lim f (x) = A, lim g(x) = B, 根据定理1.2 f (x) = A + , g(x) = B + 其中 lim = 0, lim = 0, 于是 f (x) g(x) = (A+) (B + ) = (A B) + ( ), 再由定理1.2和无穷小的性质得 lim[ f (x) g(x)] = A B. （2）与（3）的证明可类似给出. 注 性质1可推广至有限个函数代数和的情形
例1求lm(x2-3x+2) A lim(x-3x+2)=lim x -lim 3x+lim 2 =(limx)2-3limx+2=1-3+2=0 x-1 x2+1 例2求lim x2+1 im(x+1) lim x+1 解 x→)3 3 m x→3x-4im(x-4) lim x-4 →)3 9+1 10 3-4
例1 求 lim( 3 2). 2 1 − + → x x x 解 lim( 3 2) 2 1 − + → x x x lim lim 3 lim 2 1 1 2 →1 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim 2 1 2 1 = − + → → x x x x = 1− 3+ 2 = 0 例2 求 . 4 1 lim 2 3 − + → x x x 解 4 1 lim 2 3 − + → x x x lim( 4) lim( 1) 3 2 3 − + = → → x x x x lim 4 lim 1 3 2 3 − + = → → x x x x 3 4 9 1 − + = = −10
例3求lim 3x 2y-2 解因为 m 3x im sx x→)2 3x 所以 ○O。 x→)2x-2 lim 例4求 3x-3 x2-9 解 x3x-3n(x-3)(x+3) lim =lim(x+3) 3x-3 3+3=6
例3 求 . 2 3 lim →2 x − x x 解 因为 x x x 3 2 lim 2 − → 0, lim 3 lim( 2) 2 2 = − = → → x x x x 所以 . 2 3 lim 2 = → x − x x 例4 求 3 9 lim 2 3 − − → x x x 解 3 9 lim 2 3 − − → x x x 3 ( 3)( 3) lim 3 − − + = → x x x x lim( 3) 3 = + → x x = 3 + 3 = 6
2x2+3 例5求lim x→0 3x2+1 xBr+破,3 解lim 2x2+3 x→0 3+ 2 3 im(2+,) x→00 im(3+2) 3
例5 求 . 3 1 2 3 lim 2 2 + + → x x x 解 3 1 2 3 lim 2 2 + + → x x x 2 2 1 3 3 2 lim x x x + + = → ) 1 lim(3 ) 3 lim(2 2 2 x x x x + + = → → . 3 2 =
3x2+x+2 例6求lm 4x3+2x+3 312 3x2+x+2 m 解 x→0 x→>∞4x+2x+3 23 im(4+2+ x 0
例6 求 . 4 2 3 3 2 lim 3 2 + + + + → x x x x x 解 ) 2 3 lim(4 ) 3 1 2 lim( 2 3 2 3 x x x x x x x + + + + = → → 4 2 3 3 2 lim 3 2 + + + + → x x x x x 0. 4 0 = =
例7求 x2+x+1 x→0 x+1 im(1++2) 解 +x+1 xx x→>x+1 11 x→>y 因为im(+_2)=0,lim(1+-+-2)≠0, x→>xx r x 1+-+ 所以mx2 0. lim 〓0 1+ × x→0 2 2 所以 lim x+x+1 x+1
例7 求 . 1 1 lim 2 + + + → x x x x 解 , ) 1 1 lim( ) 1 1 lim(1 2 2 x x x x x x + + + = → → 1 1 lim 2 + + + → x x x x 因为 ) 0, 1 1 lim( 2 + = x→ x x ) 0, 1 1 lim(1 2 + + x→ x x 所以 0, 1 1 1 1 1 lim 2 2 = + + + → x x x x x , 1 1 1 1 1 lim 2 2 = + + + → x x x x x 所以 . 1 1 lim 2 = + + + → x x x x
一般地,有结论 +b,xk1+…+b,,x+b x-y0oo2m(x) aox"+ax+.+am-x+a 0,k> k 0. k 其中,m、n为非负整数,a0,b都不为0
一般地，有结论 m m m m k k k k m k x a x a x a x a b x b x b x b Q x P x + + + + + + + + = − − − − → 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) lim = = 0, , , , , , 0 0 k m k m a b k m 其中，m、n为非负整数， a0 ,b0 都不为0