§1实数 数学分析研究的是实数集上定义 的函数,因此我们首先要攣握实数的 基本概念与性质 页)后页)返回
前页 后页 返回 §1 实数 数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质. 返回
实数的十进制小数表示 实数的火小 、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式 前页)(后页)(返回
前页 后页 返回 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小 返回
记号与术语 R:实数集 N:自然数集(包含0) R:正实数集N:正整数集 R:负实数集:任意 Q:有理数集:存在 Z:整数集 前页】后页)返回
前页 后页 返回 记号与术语 R :实数集 N : ( 0) 自然数集 包含 Z :整数集 Q :有理数集 :存在 R : − 负实数集 :任意 R : + 正实数集 N : + 正整数集
实数的十进制小数表示 1.任何一个实数都可以用十进制小数表示 若x∈R,则x=ana1a2…an…; x∈R,则x=-an,a1a2…an… 其中an∈N,an∈{0,1,2,…,9},n=1,2 2有限小数x=a12ak(其中ak≠0),又可表示为 x=a 1a2…ak-1(ak-1)99 40 k-1k 前页】后页)返回
前页 后页 返回 1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 R , . ; + 0 1 2 n x x a a a a = 则 R , . . 0 1 2 n x x a a a a = − − 则 N, {0, 1, 2, , 9}, 1, 2, . 其中 a0 an n = 2. 有限小数 x a0 a1a2 ak = . ( 0), 其中ak 又可表示为 x = a0 .a1a2 ak−1 (ak − 1)99 . ( 1)9 . 0 1 2 1 = − a a a ak− ak 一、实数的十进制小数表示
若实数都用无限小数表示,则表达式是唯一的 即:若x=a0.a142…an y=bo-b1h2…bn…, 则x=y台an=bn,n=0,1,2, 用无限小数表示实数,称为正规表示 3Q={x|x=",其中m,n∈L,n≠0表示有理数集 vx∈Q,x可用循环十进制小数表示, 如7=0142857 前页)后页)级回
前页 后页 返回 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 . , x = a0 a1a2 an . , y = b0 b1b2 bn x = y a = b , n = 0, 1, 2, . 则 n n 用无限小数表示实数，称为正规表示. 0.142857. 7 1 如 = x Q, x 可用循环十进制小数表示， 3. Q { | , , Z, 0} m x x m n n n = = 其中 表示有理数集
4.无理数为无限不循环小数. 如:π=3.1415926…; x=0.1010010001… 前页】后页)返回
前页 后页 返回 4. 无理数为无限不循环小数. 如:π = 3.1415926 ; x = 0.1010010001
二、实数的大小 定义1Vx,y∈R,若 x=a0,a1a2…an…,y=bb1b2…bn… 是正规的十进制小数表示,规定 a>b台a0>b或丑n∈N,使 a,a1a2…an=b0bb2…bn,而an1>bn1 x,y∈R,规定x>y兮-x<-y. vx∈R,y∈R,规定y<0<x 前页)后页)级回
前页 后页 返回 二、实数的大小 a b a b n 0 0 + 或 N , 使 . . , . a0 a1a2 an = b0 b1b2 bn 而an+1 bn+1 定义1 + x y, R , 若 是正规的十进制小数表示, 规定 x y, R , 规定 x y −x − y. − R , R , + x y − 规定 y 0 x. 0 1 2 . n y b b b b = 0 1 2 . , n x a a a a =
实数的大小关系有以下性质: (1)x>y,x=y,Xy,y>z,则x>z 即大小关系具有传递性. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 (1) , , . x y x y x y = 实数的大小关系有以下性质: 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) , , . 若 则 x y y z x z 即大小关系具有传递性
三、实数的四则运算 有理数集Q对加、减、乘、除(除数不为0)是 封闭的. 实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系,还满足: (1)Ⅵx,y∈R,∈R,若x<y,则Ax<礼y (2)x1<x2,y1<y2,则x1+y1<x2+y2 前页)后页)级回
前页 后页 返回 三、实数的四则运算 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 实数的四则运算与大小关系, 还满足: + (1) , R, R , , . x y x y x y 若 则 (2) , , . 1 2 1 2 1 1 2 2 x x y y 则 x + y x + y 封闭的. 封闭的
四、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性: Va,b∈R,彐n∈N,使得mb>a. 理由如下:设 则a≤k+1a. 前页)后页)级回
前页 后页 返回 四、实数的阿基米德性 实数具有阿基米德性: + + a b n nb a , R , N , . 使得 理由如下：设 . , N, a = a0 a1a2 an a0 = k 1 10 . +1 + k 则 a k 设 b = b0 .b1b2 bn , bp 为第一个不为零的正整数, 10 , + +1 = p k 令 n 10 . 1 nb a k 则 +