《概率论与数理统计》教程PPT教学课件（第四版）第六章参数估计 §6.1 参数的点估计

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第六章参数估计根据样本观测值来估计总体分布中的未知参数值的方法称为参数估计参数估计分为:点估计与区间估计. 561参数的点估计点估计—用适当的统计量的观测值)作为未知参数的估计值的方法概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束第六章参数估计 §6.1 参数的点估计点估计 —— 用适当的统计量(的观测值)作为未知参数的估计值的方法. 参数估计分为: 点估计与区间估计. 根据样本观测值来估计总体分布中的未知参数值的方法称为参数估计

§6.1参数的点估计可题:设X~N(70,a2),且P(X≥90)=0022,=? 解决:X-70 X-7020 ~N(0,1)→P( ≥-)=0.0228 即1-①(200)=0.0228→=2.0.由此确定σ=10 说明:以上是通过已知条件来求解参数不是参数估计点估计:通过抽样得到的样本观测值来估计未知参数的具体值概率论与数理统计教程(第四版〔目录[上页[下一页〕匚返回匚结束

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束问题：设 ~ (70, ) 2 X N  ,且P(X  90) = 0.0228,  = ? 解决: ) 0.0228. 70 20 ~ (0,1) ( 70  = −  −    X N P X 即 2.0 20 1− (20 ) = 0.0228 =   查表 Φ .由此确定  =10. 说明:以上是通过已知条件来求解参数,不是参数估计. 点估计: 通过抽样得到的样本观测值来估计未知参数的具体值. §6.1 参数的点估计

§6.1参数的点估计广点估计设总体X的分布中含有未知参数; 从总体X中抽取样本1,X2…,Xn 选择适当的统计量O(X1,Y2…,Xn)作为未知参数的估计量相应的观测值6(x1,x2,…,x)作为未知参数e的估计值概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束设总体X 的分布中含有未知参数 ; §6.1 参数的点估计  点估计相应的观测值 ( , , , ) ˆ 1 2 n  x x  x 作为未知参数 的估计值. 从总体X 中抽取样本X X Xn , , , 1 2  ; 选择适当的统计量 ( , , , ) ˆ  X1 X2  Xn 作为未知参数的估计量;

86,1参數的点估计 1.矩估计法设总体X的分布中含有未知参数,O2…,On,假定总体的1,2…,m阶原点矩都存在, vk(X)=E(X)=vk(B,a2…,n),k=1,2 从总体A抽取样本X,X2…Xn用样本各阶原点矩 2(X)=∑X,k=1,2,…,m作为总体的各阶原点矩v(X)的估计量即令二者相等概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束 1.矩估计法 §6.1 参数的点估计设总体 X 的分布中含有未知参数 1 ,2 ,  , m , 假定总体 X 的 1 ,2 ,  ,m 阶原点矩都存在, ( ) ( ) ( , , , ) , 1, 2 , , . X E X k 1 2 m k m k  k = =     =  从总体 X 中抽取样本 X1 , X2 ,  , Xn ,用样本各阶原点矩 , 1, 2 , , . 作为总体 X 的各阶原 1 ˆ ( ) 1 X k m n X n i k k =  i =  =  点矩 (X)的估计量.  k 即令二者相等:

§6.1参数的点估计 k(X) ∑X,k=1,2,…,m 解此方程组得参数的估计量表达式: 14-2y Xn) n 2=62(x12X2…,Xn) =日(X12X 2…,Xn) 作为未知参数a,2…,On的估计量称为矩估计量概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束 §6.1 参数的点估计 , 1, 2 , , . 1 ( ) 1 X k m n X n i k k =  i =  =  解此方程组,得参数的估计量表达式： ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 m m n n n X X X X X X X X X           = = = 作为未知参数  , , , m 的估计量,称为矩估计量. 1 2 

86.1参数的点估计代入已知样本观测值x1,x2,…,xn,则 1=1(x1,x2…xn)2 255 分别是未知参数,a2…On的估计值称为矩估计值概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束 §6.1 参数的点估计 ( , , , ). ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ ( , , , ), ˆ ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 m m n n n x x x x x x x x x           = = = 分别是未知参数的估计值,称为矩估计值.    m , , , 1 2  代入已知样本观测值 x1 , x2 ,  , xn , 则

§6.1参数的点估计 [例1设总体X在区间0,6上服从均匀分布,其中 >0是未知参数如果取得样本观测值为x,x2 on 5 求θ的矩估计值. 解:因为总体X的概率密度 f(x;)=1°0 <x<6 0,其它其中只有一个未知参数θ,所以只需考虑总体X的一阶原点矩 (X)=E(X=xdx 0 概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束设总体 X 在区间 [0 , ] 上服从均匀分布，其中   0 是未知参数，如果取得样本观测值为 , , , , 1 2 n x x  x 求  的矩估计值. 解: 因为总体 X 的概率密度        = 0 , . , 0 ; 1 ( ; ) 其它    x f x 其中只有一个未知参数  , 所以只需考虑总体 X 的一阶原点矩 . 2 ( ) ( ) 0 1  = = =     d x x X E X [例1] §6.1 参数的点估计

§6.1参数的点估计用样本一阶原点矩W1=∑X作为v(X)的估计量, 有 61 ∑X =1 由此解得θ的矩估计量 2 X.=2X 而θ的矩估计值就是 n ∑ 2x 概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束用样本一阶原点矩  作为的估计量， = = n i Xi n V 1 1 1 ( ) 1 X 有 . 1 2 1 = = n i Xi n  由此解得  的矩估计量 2 . 2 ˆ 1 X X n n i =  i = =  而  的矩估计值就是 2 . 2 ˆ 1 x x n n i =  i = =  §6.1 参数的点估计

§6.1参数的点估计 [例2]设总体x服从正态分布N(,o2),其中及2 都是未知参数,如果取得样本观测值为x,x2,…xn, 求/及的矩估计值解:因为总体X的分布有两个未知参数,所以应考虑二阶原点矩, v1(X)=E(X)= v2(X)=E(X2)=D(X)+[E(X)2=a2+2 X 于是,按矩估计法得方程组 0+H n 概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束都是未知参数，如果取得样本观测值为 , , , , 1 2 n x x  x 设总体 X 服从正态分布 ( , ) , 2 N   其中  及 2  求  及的矩估计值. 2  解: 所以应考虑一、二阶原点矩，因为总体 X 的分布有两个未知参数， ( ) ( ) , 1 X = E X =  ( ) ( ) ( ) [ ( )] . 2 2 2 2  2 X = E X = D X + E X = +  §6.1 参数的点估计 [例2] 于是，按矩估计法得方程组        + = =   = = . 1 , 1 1 2 2 2 1 n i i n i i X n X n   

§6.1参数的点估计于是解得μ及σ的矩估计量为 X=X G2=∑2-X=∑(X1-X 1 而及σ的矩估计值就是 A=∑ a2=1(x-x)2=2 i=1 概率论与数理统计教程(第四版目录(上页[下一页〖返回结束」

概率论与数理统计教程（第四版）目录上一页下一页返回结束于是解得  的矩估计量为 2 及         = − = − = =    = = = ( ) . 1 1 ˆ , 1 ˆ 2 1 2 1 2 2 1 X X n X X n X X n n i i n i i n i i   而  及的矩估计值就是 2  §6.1 参数的点估计        = − = = =   = = . ~ ( ) 1 ˆ , 1 ˆ 2 2 1 2 1    x x n x x n n i i n i i

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