第四章不定积分 习题课 、主要内容 二、三角函数有理式的积分
第四章 不定积分 习题课 一、主要内容 二、三角函数有理式的积分
主要内容 原函数 不定积分 选 u积分法"积分法直接基 择分部 积分法本 有效 积 分 方第一换元法 几种特殊类型表 法第二换元法函数的积分
积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 一、主要内容
1、原函数 定义如果在区间内,可导函数F(x)的导函数为 ∫(x),即x∈Ⅰ,都有F(x)=∫(x)或 dF(x)=∫(x)d,那么函数F(x)就称为f(x)或 ∫(x)x在区间内原函数 原函数存在定理如果函数f(x)在区间内连续,那 么在区间内存在可导函数F(x),使x∈I,都有 F"(x)=f(x) 即:连续函数一定有原函数
1、原函数 如果在区间I 内，可导函数F( x) 的导函数为 f ( x) ， 即 x I ， 都 有 F(x) = f (x) 或 dF( x) = f ( x)dx，那么函数F( x) 就称为 f ( x)或 f ( x)dx在区间I 内原函数. 定义 原函数存在定理 如果函数f (x) 在区间I 内连续，那 么在区间I 内存在可导函数F( x) ， 使x I ，都有 F(x) = f (x). 即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分 (1)定义 在区间内,函数f(x)的带有任意常数项 的原函数称为f(x)在区间内的不定积分,记 为f(x)dhc f(dx= F(x)+C 函数∫(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线
2、不定积分 (1) 定义 在区间I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f (x) 在区间I 内 的不定积分，记 为 f (x)dx． f (x)dx = F(x) + C 函数 f (x)的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的 ()可(k=x JF(r)dx=F(x)+c dF(x)=F(x)+C (3)不定积分的性质 °「f(x)±g(x)ld=f(x)/±g(x)d 2”∫(x)=kf(x)(k是常数,k≠0
1 [ f (x) g(x)]dx = 0 f (x)dx g(x)dx (2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 2 kf (x)dx = 0 k f (x)dx（k是常数，k 0) (3) 不定积分的性质 f (x)dx f (x) dx d = d[ f (x)dx] = f (x)dx F(x)dx = F(x) + C dF(x) = F(x) + C
3、基本积分表 )j=kx+C是常数)(7) jsinxdx=-csx+C +C(y≠-1)(8 Isec2xdx=tanx+C A+1 cos x (3)∫2=lmx+C (∫2=cd=-otxc (5) xdc=arcsinx+C(11)esc x cot xdx=-cscxr+C C=arctan+c (10) sec x tan xdx=secx+C (6)∫ cos xdx=sinx+C (12)e=e2+C
3、基本积分表 (1) kdx = kx + C (k 是常数) ( 1) 1 (2) 1 + − + = + C x x dx = x + C x dx (3) ln = + dx x 2 1 1 (4) arctan x +C = − dx x 2 1 1 (5) arcsin x +C (6) cos xdx = sin x +C (7) sin xdx = − cos x +C (10) sec x tan xdx = sec x +C (11) csc x cot xdx = − csc x +C = e dx x (12) e C x + = x dx 2 cos (8) xdx = 2 sec tan x +C = x dx 2 sin (9) xdx = 2 csc − cot x +C
(3)∫a'dt= 加+C 20) dx=-arctan -+C a +r (14)shed=chx+C (21) (15)chxdx=shx+C x -a 2a x+a 16) tan xdx=-In cosx +C (2)」J=1m2+x+C a 2a a-x (17)「 cotxdx=nsix+C (23) dx=arcsin -+C (18)sec xdx= In(sec x+ tan x)+C (24)「 (19)csc xdx= In(csc x-cot x)+C ln(x+√x2±a2)+C
a dx = x (13) C a a x + ln (16) tan xdx = −lncos x +C (17) cot xdx = lnsin x +C (18) sec xdx = ln(sec x + tan x) +C (19) csc xdx = ln(csc x − cot x) +C C a x a dx a x = + + arctan 1 1 (20) 2 2 C a x a x a dx a x + − + = − ln 2 1 1 (22) 2 2 C a x dx a x = + − arcsin 1 (23) 2 2 x x a C dx x a = + + ln( ) 1 (24) 2 2 2 2 C x a x a a dx x a + + − = − ln 2 1 1 (21) 2 2 x +C (14) shxdx = ch (15) chxdx = shx +C
4、直接积分法 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法 5、第一类换元法 定理1设∫(n)具有原函数,=φp(x)可导, 则有换元公式 几0x)(x)=f)dl u=p(x) 第一类换元公式(凑微分法)
5、第一类换元法 4、直接积分法 定理 1 设 f (u)具有原函数，u = (x)可导， 则有换元公式 ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u x f x x dx f u du = = 第一类换元公式（凑微分法） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法
常见类型 1.f(x")x"x; 2 ∫(√x) nx 3. 2 5. f(sin x)cos xd; 6.f(aa dx; 7. f(tan x)sec xdx; 8 f∫( arctan x) 1+x
1. ( ) ; 1 f x x dx n+ n ; ( ) 2. dx x f x ; (ln ) 3. dx x f x ; ) 1 ( 4. 2 dx x x f 5. f (sin x)cos xdx; 6. f (a )a dx; x x 常见类型: 7. (tan )sec ; 2 f x xdx ; 1 (arctan ) 8. 2 dx x f x +
6、第二类换元法 定理设x=y()是单调的、可导的函数,并 且y()≠0,又设∫y(t)y'(t)具有原函数, 则有换元公式 ∫)wol t=v(x) 第二类换元公式 其中v(x)是x=v(t)的反函数
6、第二类换元法 定理 设 x =(t)是单调的、可导的函数，并 且(t) 0，又设 f [ (t)](t)具有原函数， 则有换元公式 ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt = = 其中(x)是x = (t)的反函数. 第二类换元公式
