第四章随机变量的数字特征 ●§41数学期望 §4.2方差 §43协方差及相关系数 §44矩、协方差矩阵 2/92
2/92 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵
§4.1数学期望 ●概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征,但有 时对于我们关系的问题而言却不直观。如: 研究水稻品种时,常关注的是稻穗的平均稻谷粒数,这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的,而且在实际生产中可能只关心该 平均值,甚至不关心分布函数。 篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量,常关心平均身高 研究信道上的随机噪声时,出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑,对噪声的均值很关心,而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 本章重点讨论数学期望,方差,相关系数,矩等 3/92
3/92 §4.1 数学期望 概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征，但有 时对于我们关系的问题而言却不直观。如： ⚫ 研究水稻品种时，常关注的是稻穗的平均稻谷粒数，这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的，而且在实际生产中可能只关心该 平均值，甚至不关心分布函数。 ⚫ 一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量，常关心平均身高 ⚫ 研究信道上的随机噪声时，出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑，对噪声的均值很关心，而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 本章重点讨论数学期望，方差，相关系数，矩等
§4.1数学期望 实例:一射手进行打靶练习,规定 ●打中区域得0分 e e ●打中区域2得1分 打中区域2得2分 ●以X记每次射击得分数,则X的分布律如下: X012 Pk Po PI p2 4/92
4/92 §4.1 数学期望 实例：一射手进行打靶练习，规定 ⚫ 打中区域e0得0分 ⚫ 打中区域e1得1分 ⚫ 打中区域e2得2分 以X记每次射击得分数，则X的分布律如下： X 0 1 2 pk p0 p1 p2 e2 e1 e0
§41数学期望 考察每次射击的平均得分数? 射击N次,其中得0分有a0次,得1分有a1次,得2分有a2次 即N=a0+a1+a2 射击N次得分总和为ao×0+a1×1+a2×2 每次射击平均分数为a0×0+a1×1+a2×2N=∑k k=0 这是有限次实验的算术平均值,其中N是事件P{X=k的 频率。 °当N→∞时,N无限的接近一个稳定的常数p,即事件PX= 发生的概率 °也就是说,当N→∞时,算术平均值∑k→一个稳定的 常数值,就把该值称为随机变量x的皴学期望或均值 Expectation 5/92
5/92 §4.1 数学期望 考察每次射击的平均得分数？ ⚫ 射击N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次 即N＝a0＋a1＋a2 ⚫ 射击N次得分总和为a0×0＋a1×1＋a2×2 ⚫ ∴每次射击平均分数为(a0×0＋a1×1＋a2×2)/N= ， 这是有限次实验的算术平均值，其中 是事件P{X=k}的 频率。 当N→∞时， 无限的接近一个稳定的常数pk，即事件P{X=k} 发生的概率 也就是说，当N→∞时，算术平均值 → 一个稳定的 常数值，就把该值称为随机变量X的数学期望或均值 Expectation = 2 k 0 k N a k N ak N ak = 2 k 0 k N a k = 2 k 0 kpk
§4.1数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 PIX=xk=Pk, k=1, 2, ●。● 若级数∑xP绝对收敛,则称级数∑xD的和为随机变 量X的数学期望,记为E(X), 即EX)=∑xPk k=1 设连续型随机变量X的概率密度为fx),若积分[x(x)d 绝对收敛,则称积分|x(x的值为随机变量X的数学 期望,记为E(X), 即E(X)=xf(xx 6/92
6/92 §4.1 数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk }＝pk，k＝1,2,… ⚫ 若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变 量X的数学期望，记为E(X)， 即E(X)＝ ⚫ 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X)， 即E(X)＝ k=1 k k x p k=1 xk pk k=1 k k x p − xf(x)dx − xf(x)dx − xf(x)dx
§4.1数学期望 ●数学期望简称期望,又称为均值 ●物理意义 质心的概念:可以把物体的质量看作是集中在一点处 如果一条直线的质量线密度为fx),x为直线上任一质点 的坐标,那么直线的质心的位置x=? xe sf(x)dxf(x cx 现在如果f(x)是概率密度,则 xf(x) dxA f(x)dx yf(x)dx/1 即x=E(X),数学期望相当于质心的坐标 7/92
7/92 §4.1 数学期望 数学期望简称期望，又称为均值 物理意义 ⚫ 质心的概念：可以把物体的质量看作是集中在一点处， 如果一条直线的质量线密度为f(x)，x为直线上任一质点 的坐标，那么直线的质心的位置xc＝？ xc ＝ / 现在如果f(x)是概率密度，则 xc ＝ / ＝ /1 即xc ＝E(X)，数学期望相当于质心的坐标 − xf (x)dx − f (x)dx − xf (x)dx − f (x)dx − xf (x)dx
§4.1数学期望 E(X是实数而非变量,它是一种加权平均,与一般变量的 算术平均值不同。 ●大量试验的算术平均值趋近于期望 ●只有级数的和或广义积分的值存在,数学期望才有意义, 而有时是不存在的 注意绝对收敛与条件收敛的区别,某些交错级数是条件收敛的, 其和可能不为一,因此期望不存在。如果一个数项级数{}的各项 取绝对值后满足收敛,则称数项级数{n}绝对收敛,相应的如果绝 对值的积分收敛,则绝对收敛 数学期望E(X完全由随机变量X的概率分布所确定 若X服从某一分布,也称E(X)为这一分布的数学期望, 比如二项分布,均匀分布等的数学期望 8/92
8/92 §4.1 数学期望 E(X)是实数而非变量，它是一种加权平均，与一般变量的 算术平均值不同。 大量试验的算术平均值趋近于期望 只有级数的和或广义积分的值存在，数学期望才有意义， 而有时是不存在的 ⚫ 注意绝对收敛与条件收敛的区别，某些交错级数是条件收敛的， 其和可能不为一，因此期望不存在。如果一个数项级数{un }的各项 取绝对值后满足收敛，则称数项级数{un }绝对收敛，相应的如果绝 对值的积分收敛，则绝对收敛 数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定 ⚫ 若X服从某一分布，也称E(X)为这一分布的数学期望， 比如二项分布，均匀分布等的数学期望
§41数学期望 例设随机变量X服从柯西分布其密度函数为 -00<x<+ 7(1+x) 求EX) 解:由于积分∫x 丌(1+x2) 因此柯西分布的数学期望不存在 9/92
9/92 例 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为 求E(X). 解: 由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在. ( ) (1 ) 1 ( ) 2 − + + = x x f x = + + − (1 ) | | 2 x dx x §4.1 数学期望
§4.1数学期望 例:甲乙两人打靶,所得分数X和Y分布律为 X0 Y|012 Pk00.20.8 Pk|0.60.30.1 试评定它们成绩的好坏 ●解主要看多次射击的得分均值,即数学期望, 离散型:E(X)=∑xP E(X)=0×0+1×0.2+2×0.8-1.8分 E(Y)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 10/92
10/92 §4.1 数学期望 例：甲乙两人打靶，所得分数X和Y分布律为 X 0 1 2 Y 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定它们成绩的好坏 解 主要看多次射击的得分均值，即数学期望， 离散型：E(X)＝ E(X)＝0×0＋1×0.2＋2×0.8=1.8分 E(Y)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 k=1 k pk x
§4.1数学期望 例2有两个相互独立工作的电子装置,寿命X1和X2服从同一 指数分布 e-70 9C>0 f(r) 0>0 0,其它 若将二者串联成整机,求整机寿命N的数学期望E(M ●解N=min(X1,X2),要求期望,先求概率密度,本题要先 求N的分布函数 ∴Fmn(x)=1-[1-F(x)2X1,X2独立同分布 又F(x) 1-e-x,x>0 0,其它 -2x/ e x>0 ∴Fmin(x)=1-[1-F(J 0,其它 2x/6 m(x)={0 >0 ,服从参数为/2的指数分布 0,其它 E(M=xfm(x)=02,指数分布的均值即参数02 1192
11/92 §4.1 数学期望 例2 有两个相互独立工作的电子装置，寿命X1和X2服从同一 指数分布 f(x)＝ ，θ>0. 若将二者串联成整机，求整机寿命N的数学期望E(N) 解 N=min(X1 ,X2 )，要求期望，先求概率密度，本题要先 求N的分布函数 ∴Fmin(x)＝1－[1－F(x)]2 //X1 ,X2独立同分布 又F(x)= ， ∴Fmin(x)＝1－[1－F(x)]2＝ ∴fmin(x)＝ ，服从参数为θ/2的指数分布 ∴E(N)＝ =θ/2，指数分布的均值即参数θ/2 − 0, 其它 , 0 1 / e x x − − 0, 其它 1 , 0 / e x x − − 0, 其它 1 , 0 2 / e x x − 0, 其它 , 0 2 2 / e x x − xfmin (x)dx