第七章微分方程 =5→y=xhx 已知y′=f(x)求y一积分问题 推广 +2tX=0 已知含y及其若干阶导数的方程,求y 一微分方程问题
第七章 微分方程 已知 y = f (x),求 y — 积分问题 已知含y y 及其若干阶导数的方程,求 — 微分方程问题 推广
、问题的提出 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程 解设所求曲线为y=(x) 线1分/2x其中x=时,y=2 小y y=2xd即p=x2+C,求得C=1, 分网 所求曲线方程为y=x+1线分
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出
二、微分方程的定义 xax 、微分方程: dx 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 a k 例 y"+2y-3y= 鼠数 222 (t'+x)dt +xdy =0r ar t+y, ex2yy 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式
1、微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义
分类1:常微分方程,偏禽微分方程 2、微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2: y+S出x+)+=D 阶微分方程F(x,y,y=0,y=f(x,y) 高阶(m)微分方程F(x,y,y,…,y")=0, ym=f(x,y,y,…,yn")
2、微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类2:
分类3:线性与非线性微分方程 I pa) y +P(x)y=o(), x(y-2 yy'+x=0 分类4:单个微分方程与微分方程组 「的 =3y-2z, dz y-o
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy
三、主要问题——求方程的解 1、微分方程的解:一般解29 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 微分方程的解 设y=(x)在区间I上有n阶导数,9∞) F(x,9(x),p(x,…,"(x)=0.亥b=0 2、微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
1、微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为 微分方程的解. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 2、微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
ce 0例y=y,通解y=ce 小G0cSnx,y_点,=G15x+C2Swx - C SinX-C2Cx=-子 ⑧y"+y=0,通解y= c sInx+c2c0sx; 洲:号=9)+2⑥彭 2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 S讯n儿 SinX Sinta, aox 3、解的图象:微分方程的积分曲线 4、通解的图象:积分曲线族、通外=将 5、初始条件:用来确定任意常数的条件
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = c1 x + c2 x 3、解的图象: 微分方程的积分曲线. 4、通解的图象: 积分曲线族. 5、初始条件: 用来确定任意常数的条件
6、初值问题」求微分方程满足初始条件的解的问题 y=2 阶 y'=f(x,y) 过定点的积分曲线 2 X=x y=f(x,v,y) 阶 y X=X r0 05x=x 大 ↓xA X=X 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 6、初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
例2验证函数x=C1csM+C2sink是微分方程 d x 2+k2x=0的解并求满足初始条件 X=Ay =0的特解.%=ACkt x=-C1k5kt十a2C飞,=- k aoskt-G2k-s,kt K ,:、:角 行表=阡友 1=0x=AA=CQ)S叫=C=月 t=o, I=owd q1KS+收C2C0今Q2=
例 2 验证:函数 x c cos kt c sinkt = 1 + 2 是微分方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解
思考题 函数y=3e是微分方程y-4y=0 的什么解? 2x be 2已 外
思考题 函数 x y e 2 = 3 是微分方程y − 4 y = 0 的什么解?