第2章线性代数方程组
第2章 线性代数方程组
第2章线性代数方程组 线性代数方程组 a x, +a 2 +…+C1nx B arx+a22x2+,+a2,x,=B, (2.1) anx+amx+. +am,x,=B 可以写为矩阵我式 Ax=b 其中 C1c12 B1 B2 A x B
第2章 线性代数方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (2.1) n n n n n n nn n n x x x x x x x x x + + + = + + + = + + + = 线性代数方程组 可以写为矩阵形式 Ax b = 其中 , , . 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = = n n n n n n n n b x x x A x
第2章线性代数方程组 求解方法 方法1 Ax=b →A4x=A-b →x=Ab 计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法:初等行变换法、伴随矩阵法、高斯 约当法
第2章 线性代数方程组 求解方法 方法1 计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法:初等行变换法、伴随矩阵法、高斯 约当法 Ax = b A Ax A b −1 −1 = x A b −1 =
第2章线性代数方程组 求解方法 方法2 Crammer法 则 其中:4是方程组的系数矩阵的行列式 A|是以右端常量向量b替代A的第i列所得矩阵的行列式
第2章 线性代数方程组 求解方法 方法2 Crammer法 则 Ai 是以右端常量向量b替代A的第i列所得矩阵的行列式 11 1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 2 1 2 1 1 1 11 12 1 21 22 2 1 2 1, 2,..., i i n i i n n ni n ni nn i n n n n nn a a b a a a a b a a a a b a a x i n a a a a a a a a a − + − + − + = = 其中: A 是方程组的系数矩阵的行列式 i n A A x i i = , =1,2
J(122 第2章线性代数方程组 求解方法 方法2 Crammer法 则 计算量为求矩阵的行列式 A aa l2 其中:J(1,2…in)是{1,2,…,m变换到{1,2,…,n}所需的 置换次数 因此计算一个行列式需要(n-1m次浮点运算 使用 Cramer法则求解方程组需要N=(n2-1)ml次浮点运算
第2章 线性代数方程组 计算量为求矩阵的行列式 1 2 1 2 ( , ) 1 2 ( 1) n n J i i i A = − i i ni ( , , , ) 1 2 n J i i i 1 2 1 2 : ( , ) {1, 2, ..., } { , , ..., } n n 其中 J i i i n i i i 是 变换到 所需的 置换次数 因此, ( -1) ! 计算一个行列式需要 n n 次浮点运算 2 使用Cramer法则求解方程组需要N n n = ( -1) !次浮点运算 求解方法 方法2 Crammer法 则
第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 211消去法 2x1+x2=3 2x1+x2=3 x-x,=0→ 从第二个方程解出 2→代入第一个方程,得到x1=1 消去法的过程 1将n元方程组的n-1个方程通过“消元”,形成一个与原 方程组等价的新方程组 2继续将n-1个方程通过“消元”形成与之等价的新方程 自到最后一个方程为一元一次方程为止 4从最后一个方程中解出最后一个未知量,然后回代得到 其它的解
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 1 2 1 2 2 3 0 x x x x + = − = 消去法的过程 1.将n元方程组的n-1个方程通过“消元”，形成一个与原 方程组等价的新方程组 2.继续将n-1个方程通过“消元”形成与之等价的新方程 组3.直到最后一个方程为一元一次方程为止 4.从最后一个方程中解出最后一个未知量，然后回代得到 其它的解 1 2 2 2 3 3 3 2 2 x x x + = − = − 2 = 从第二个方程解出x 1 1 = 代入第一个方程,得到x 1
第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 211消去法 消去法的基本思想: 将求解n元方程组的问题通过降维变为等价的n-1元方 程组进行求解,逐次进行直至变为一个一元一次方程为 止,然后求解,再逐步回代得到其余的解 消去法的基本步骤:消去、回代
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 消去法的基本思想: 将求解n元方程组的问题通过降维,变为等价的n-1元方 程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程为 止，然后求解，再逐步回代得到其余的解 消去法的基本步骤：消去、回代
第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 211消去法 消去过程对于以下的增广矩阵 03(0 (0) β (0) (0) 2 303: (0) 2 (0) 将矩阵的第分别减去第一行的倍数240,=2,3,…,n,得到 (0)P(0) 其中 0 1) (Ab)=0 03①3)3 ββ 1) BO=B(o-LBi 3,,n 2.3.n
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 消去过程 对于以下的增广矩阵 (0) (0) (0) (0) (0) 11 12 13 1 1 (0) (0) (0) (0) (0) 21 22 23 2 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 31 32 33 3 3 (0) (0) (0) (0) (0) 1 2 3 ( ) n n n n n n nn n a a a a a a a a A b a a a a a a a a = (0) 1 1 (0) 11 , 2,3,..., , i i a i l i n a 将矩阵的第 行分别减去第一行的倍数 = = 得到 (0) (0) (0) (0) (0) 11 12 13 1 1 (1) (1) (1) (1) 22 23 2 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 32 33 3 3 (1) (1) (1) (1) 2 3 0 ( ) 0 0 n n n n n nn n a a a a a a a A b a a a a a a = (1) (0) (0) 1 1 (1) (0) (0) 1 1 2,3,..., 2,3,..., ij ij i j i i i a a l a l j n i n = − = − = = 其中
第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 211消去法 依此类推,消去的第k步,得到矩阵 1,k+1 ai) Biox k-1) (k-1) (A6)b) kk+ (k) +1k+1 a k (k) 计算关系式 k)_(k-1) lc k+1. )=B1)-lk/),=k+1k+2
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 依此类推，消去的第k步，得到矩阵 (0) (0) (0) (0) (0) 11 1 1, 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) , 1 (0) ( ) ( ) 1, 1 1, 1 ( ) ( ) ( ) , 1 ( ) k k n k k k k k k kk k k kn k k k k k k n k k k k n k nn n a a a a a a a A b a a a a + − − − − + + + + + + = ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) , 1,..., , 1, 2,..., k ik ik k kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k a l a a a l a j k n l i k k n − − − − − − = = − = + = − = + + 计算关系式
第2章线性代数方程组 1Gaus消去法 211消去法 经过n-1步消去后,得到 12 B2 (4m)bm1) 然后,终过回代,得到所有的解 Bo B(-)-2a- x,l, k
第2章 线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1 消去法 经过n-1步消去后，得到 (0) (0) (0) (0) (0) 11 12 13 1 1 (1) (1) (1) (1) 22 23 2 2 ( 1) ( 1) (2) (2) (2) 33 3 3 ( 1) ( 1) ( ) n n n n n n n nn n a a a a a a a A b a a a − − − − = 然后，经过回代，得到所有的解 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 , 1, 2,...,1 n n n n nn n k k k k kj j k kk j k x a x a x k n n a − − − − − = + = = − = − −