第七章习题课 主要内容 、典型例题
第七章 习题课 一、主要内容 二、典型例题
主要内容 u为常数 ∑ un为函数un(x) 常数项级数 取x 函数项级数 正∥ 幂级数 三角级数 收 般 项 项级级径 项 半泰勒展开式傅氏展开式 数 R 1R(x)→0满足秋氏条件 泰勒级教 傅氏级数 在收敛级数与数 条件下相互转化 数 数或函数 函数
常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 幂级数 三角级数 收 敛 半 径 R 泰勒展开式 数 数或函数 函 数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 泰勒级数 傅氏级数 Rn (x) → 0 un为常数 u u (x) n为函数 n 满足狄 氏条件 取 x = x0 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 n=1 un 一、主要内容
1、常数项级数 定义∑un=41+1+1+…+n+ 级数的部分和S=1+l2+2+…+n2∑ 级数的收敛与发散 常数项级数收敛(发散)< lim s存在(不存在) n→00
1 2 3 1 n n n u u u u u = = + + + + + 1、常数项级数 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在). 定义 级数的收敛与发散 级数的部分和 1 2 3 1 = n n n i i s u u u u u = = + + + +
收敛级数的基本性质 性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和 级数收敛的必要条件:imn=0 n→0
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. lim = 0. → n n 级数收敛的必要条件: u 收敛级数的基本性质
常数项级数审敛法 般项级数正项级数任意项级数 1.若S→S,则级数收敛 2.当n→>∞,un→>0,则级数发散; 3按基本性质; 4绝对收敛 4充要条件 4绝对收敛 5比较法 5交错级数 6比值法 (菜布尼茨定理 7.根值法
常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 若 S S ,则级数收敛; n → 当 → , → 0,则级数发散; n u n 一般项级数 4.绝对收敛
2、正项级数及其审敛法 定义∑un,n≥0 审敛法正项级数收敛→部分和所成的数列S有界 (1)比较审敛法 若∑un收敛(发散且vn≤n(unvn) nE 则∑vn收敛(发散) H=1
定义 1 , 0 n n n u u = . n 正项级数收敛 部分和所成的数列 s 有界 2、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 若 n=1 un 收敛(发散)且 ( ) n n n n v u u v , 则 n=1 n v 收敛(发散)
(2)比较审敛法的极限形式 设∑ln与∑vn都是正项级数如剩m全 oo n→0 n=1 H=1 则()当0<l<+∞时,二级数有相同的敛散性; (2)当=0时,若∑v收敛则∑un收敛; n (3)当=+0时,若∑”发散则∑n发散
(2) 比较审敛法的极限形式 设 n=1 un 与 n=1 n v 都是正项级数,如果 l v u n n n = → lim , 则(1) 当0 l +时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l = 0时，若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un 收敛; (3) 当l = +时, 若 n=1 n v 发散,则 n=1 un 发散;
(3)极限审敛法 设∑n为正项级数 n= 如果 lim nu=1>0(或 ilim nu=∞), n→0 n→00 则级数∑un发散; 如果有P>1,使得imn"un2存在, n→00 则级数∑un收敛 n=1
设 n=1 un 为正项级数, 如果lim = 0 → nu l n n (或 = → n n lim nu ), 则级数 n=1 un 发散; 如果有p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数 n=1 un 收敛. (3) 极限审敛法
(4)比值审敛法(达朗贝尔DA| ember判别法) 设∑v1是正项级数如果lim“1=p数或+∞) n→0 1= n 则p1时级数发散;p=1时失效 (5)根值审敛法(柯西判别法 设∑n是正项级数 n-=1 如果imun=p(p为数或+∞), n→0 则p1时级数发散;p=1时失效
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法) 设 n=1 un 是正项级数,如果lim ( ) 1 = + + → 数或 n n n u u 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1 时失效. (5) 根值审敛法 (柯西判别法) 设 n=1 un 是正项级数, 如果 = → n n n lim u (为数或+ ), 则 1时级数收敛; 1时级数发散; = 1时失效
3、交错级数及其审敛法 定义正、负项相间的级数称为交错级数 ∑(-1)"un或∑(-1)"n(其中un>0) H=1 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件: (i)un≥un+1(n=1,2,3,);(i)imun=0,则 n→ 级数收敛,且其和s≤u1其余项r的绝对值 rn≤ n+1
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 0) n n n n n n n u u u − = = − − 或 其中 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un un+1 n = ;(ⅱ)lim = 0 → n n u ,则 级数收敛, 且其和 u1 s , 其 余 项 n r 的绝对值 n un+1 r . 3、交错级数及其审敛法