§1一致收敛性 对于一般项是函数的无穷级数,其收敛性 要比数项级数复杂得多,特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富,它在理论和应用上有 着重要的地位 函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 前页)看后页)(级回
前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性
函数列及其一致收敛性 设 f1,f2 2 ,Jng 是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E 上的函数列.(1)也可记为 n}或fn,n=12 以x∈E代入(1),可得数列 f(x0,(x,…,fn(x)… 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 1 2 , , , , (1) n f f f 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 { } , 1,2, . f f n n n 或 = 以 0 x E 代入 (1), 可得数列 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . (2) n f x f x f x
如果数列()收敛,则称函数列(1)在点x收敛,x称 为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数 列(1)在点x发散,当函数列(1)在数集DcE上每 点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每 点x都有数列{n(x)的一个极限值与之相对应, 根据这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数 列(1)的极限函数若将此极限函数记作,则有 imfr(x)=f(x),x∈D 前页)后页)返回
前页 后页 返回 0 x 0 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, x 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 0 x 发散. 当函数列(1)在数集 D E 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 x { ( )} n 一点 都有数列 f x 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有 lim ( ) ( ) , n n f x f x x D → =
或 f∫n(x)→>∫(x)(n→>∞),x∈D 函数列极限的E-N定义:对每一固定的x∈D,任 给正数6,总存在正数N注意:般说来N值与6和 x的值都有关,所以有时也用NE,x)表示三者之间 的依赖关系,使当n>N时,总有 Lf(x)-f(xa. 使函数列{fn}收敛的全体收敛点集合,称为函数列 八n}的收敛域 前页)后页)返回
前页 后页 返回 或 ( ) ( ) ( ) , . n f x f x n x D → → 函数列极限的 − N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 n N 时, 总有 | ( ) ( ) | . n f x f x − 使函数列 { }n f 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 { }n f 的收敛域
例1设fn(x)=x",n=1,2,为定义在(-∞,o)上的 函数列,证明它的收敛域是(-1,1,且有极限函数 f∫(x) ∫0,|xk0(不妨设EN(E,x)时,就有 nx lfn(x)-∫(x)|x|4x|=E 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例1 ( ) , 1,2, , n n 设 为定义在(- ) f x x n = = 上的 函数列, 证明它的收敛域是 ( 1, 1] − , 且有极限函数 0, | | 1, ( ) 1, 1. x f x x = = 证 任给 不妨设 当 时 由于 0 ( 1), 0 | | 1 , x | ( ) ( ) | | |, n n f x f x x − = ln ( , ) , ( , ) ln | | N x n N x x 只要取 当 时,就有 = | ( ) ( ) | | | | | . n N n f x f x x x − = =
当x=0和x=1时,则对任何正整数n,都有 lfn(0)-f(0)=0+0(n→>∞),当x=-1时, 对应的数列为-1,1,-1,1…,显然是发散的所以 函数列{x"}在区间(-1,外都是发散的.故所讨论 的函数列的收敛域是(-1,1 前页)后页)返回
前页 后页 返回 当 和 时 则对任何正整数 都有 x x n = = 0 1 , , | (0) (0) | 0 n f f − = ， | (1) (1) | 0 . n f f − = 式所表示的函数. | | 1 | | ( ), n 又 当 时, 有 x x n → + → 当 时 x = −1 , 对应的数列为− − 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以 { }n 函数列 x 在区间 ( 1, 1] − 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 ( 1, 1]. − 这就证明了 { } f n 在( , 1] −1 上收敛, 且极限就是(3)
例2定义在(-,+∞)上的函数列f(x)=x t 由于对任何实数x,都有 SInn n 故对任给的E>0,只要n>N=,就有 SInn 0 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例2 sin ( , ) ( ) , n nx f x n 定义在 上的函数列 − + = n = 1,2, . sin 1 , nx n n 1 0, , n N 故对任给的 只要 就有 = sin 0 . nx n − 由于对任何实数 都有 x
所以函数列{sinx/n}的收敛域为(-∞,+∞),极限 函数为f(x)=0 注对于函数列,仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的,重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系.例如,能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性;或极限函数的导数或积分,是否分别是函数列 每项导数或积分的极限对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行 前页)后页)返回
前页 后页 返回 所以函数列 sin ( , ), nx n的收敛域为 − + 极限 函数为 f x( ) 0. = 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行
定义1设函数列{fn}与函数∫定义在同一数集D 上,若对任给的正数6,总存在某一正整数N,使当 n>N时,对一切x∈D,都有 f∫n(x)-f(x)kE, 则称函数列{}在D上一致收敛于∫,记作 f(x)∫(x)(n>∞),x∈D 由定义看到,一致收敛就是对D上任何一点,函数列 趋于极限函数的速度是“一致”的.这种一致性体现 前四后巡回
前页 后页 返回 设函数列{ }n 定义1 f f 与函数 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 总存在某一正整数 , , N 使当 n N 时， 对一切 都有 x D , | ( ) ( ) | n f x f x − ， { }n 则称函数列 在 上一致收敛于 ,记作 f D f → f x f x n x D n ( ) ( )( ) , . → → 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
为:与E相对应的N仅与E有关,而与x在D上的 取值无关,因而把这个对所有x都适用的N写作 N(a). 显然,若函数列{n}在D上一致收敛则必在D上 每一点都收敛反之,在D上每一点都收敛的函数列, 它在D上不一定一致收敛 SInr 例2中的函数列 是一致收敛的,因为对任意 前页)后页)返回
前页 后页 返回 N( ). 显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛. 为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作 例2 中的函数列 sinnx n 是一致收敛的, 因为对任意