中学代数研究第四章 2021/1/28。·
中学代数研究第四章 2021/1/28 1
第四章函数 第一节函数的发展及其科学价值 运动、变量与曲线的数学描述,催生了函数思想, 并把函数概念和方法置于整个数学的中心第一位。 微积分研究对象是函数,几何图形则成为函数的图 形。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同 的函数作为它们的数学模型。 在人类历史上,很早就研究过方程,但是都没有形 成函数的思想。函数概念是在资本主义文明萌芽时期 的16至17世纪才逐渐产生。 2021/1/28
2021/1/28 第四章 函 数 第一节 函数的发展及其科学价值 微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图 形。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同 的函数作为它们的数学模型。 在人类历史上，很早就研究过方程，但是都没有形 成函数的思想。函数概念是在资本主义文明萌芽时期 的16至17世纪才逐渐产生。 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想， 并把函数概念和方法置于整个数学的中心第一位
伽利略研究抛物体的运动及自由落体运动,产生 了函数s=gt12。他明确宣称,科学的本质是数学。 他说:“给我延展和运动,我将把宇宙构造出来。” 古希腊的二次曲线是静止的图像。伽利略则证明, 把物体倾斜地抛向空中时,其路径是圆锥曲线中的抛 物线。 笛卡儿最先提出了“变量”的概念,它在《几何学》 中间不仅引入了坐标都好而且实际上已引入了变量x,y 还注意到y依赖于x而变化,这正是函数思想的萌芽。 恩格斯对此作了高度的评价:“数学中的转折点是 笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学;有了变 数,辩证法进入了数学;有了变数,微升和集成已就 立刻成为了必要,而他们也能立即产生了…” 2021/1/28
2021/1/28 伽利略研究抛物体的运动及自由落体运动，产生 了函数s=gt2 /2。他明确宣称，科学的本质是数学。 他说：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出来。” 古希腊的二次曲线是静止的图像。伽利略则证明， 把物体倾斜地抛向空中时，其路径是圆锥曲线中的抛 物线。 笛卡儿最先提出了“变量”的概念，它在《几何学》 中间不仅引入了坐标都好而且实际上已引入了变量x,y, 还注意到y依赖于x而变化，这正是函数思想的萌芽。 恩格斯对此作了高度的评价：“数学中的转折点是 笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变 数，辩证法进入了数学；有了变数，微升和集成已就 立刻成为了必要，而他们也能立即产生了……
牛顿则认识到,曲线是动点的轨迹。动点的位置 (xy)是时间的函数。牛顿创立微积分的时候,用“流 数”表示变量间的关系。 莱布尼兹则用“ Function”一词表示随着曲线上 点变动而变动的量。 李善兰在《代微积拾级》一书中将 Function翻译 为“函数”,并一直沿用至今。 牛顿和莱布尼兹用极限方法研究函数的性质,取 得极大的成功。微积分学随之诞生,函数作为微积分 的研究对象,牢牢地占据着近代数学的中心地位。 2021/1/28
2021/1/28 牛顿则认识到，曲线是动点的轨迹。动点的位置 (x,y)是时间的函数。牛顿创立微积分的时候，用“流 数”表示变量间的关系。 莱布尼兹则用“Function”一词表示随着曲线上一 点变动而变动的量。 李善兰在《代微积拾级》一书中将Function翻译 为“函数”，并一直沿用至今。 牛顿和莱布尼兹用极限方法研究函数的性质，取 得极大的成功。微积分学随之诞生，函数作为微积分 的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位
1755年,欧拉给出了函数明确的定义: “如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量, 即当后者变化时,前者本身也发生变化,则称前一个 变量是后一些变量的函数”。 1851年,黎曼定义:“我们假定Z是一个变量。如 果对它的每一个值,都有未知量W的一个值与之对应, 则称W是Z的函数。” 2021/1/28
2021/1/28 1755年，欧拉给出了函数明确的定义： “如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量， 即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个 变量是后一些变量的函数”。 1851年，黎曼定义：“我们假定Z是一个变量。如 果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应， 则称W是Z的函数。” $
1939年,布尔巴基学派著作认为 若EF是两个集合,两者的笛卡儿集是指 (xy)|x∈Xy∈Y},XY中的任何子集S称为X与Y 之间的一种关系。 如果关系F满足:对于每一个x∈X、都存在唯一的 个y∈Y,使得(xy)∈F,则称关系F是一个函数。 这三种函数的定义,分别是变量说,对应说(映射 说),关系说。 这是函数概念的三个里程碑。他们彼此不同,又相 互联系。 2021/1/28
2021/1/28 1939年，布尔巴基学派著作认为， 若E,F是两个集合，两者的笛卡儿集是指 {(x,y) ︱x∈X,y ∈ Y}，X,Y中的任何子集S称为X与Y 之间的一种关系。 如果关系F满足：对于每一个x∈X、都存在唯一的 一个y∈Y，使得(x,y) ∈F，则称关系F是一个函数。 这三种函数的定义，分别是变量说，对应说（映射 说），关系说。 这是函数概念的三个里程碑。他们彼此不同，又相 互联系
18世纪以来,分析学一直是数学的核心学科。很 多数学分支都是以“函数”作为研究工具。函数概念 的灵魂是运动,是变量,是变量关系。 在20世纪以前,中学数学的中心是方程。1908年, 克莱因担任国际数学教育委员会主席,首次提出,中 学数学应当以函数为中心。第二次世界大战之后,函 数思想全面进入中学数学课程。 中国在1949年以前,中学里的数学课程依然是 以代数为纲”,方程式论占据绝大部分篇幅。 到了20世纪50年代,中国数学教育全面学习前苏 联,函数终于取得了中学数学过程中的核心地位。 2021/1/28
2021/1/28 18世纪以来，分析学一直是数学的核心学科。很 多数学分支都是以“函数”作为研究工具。函数概念 的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 在20世纪以前，中学数学的中心是方程。1908年， 克莱因担任国际数学教育委员会主席，首次提出，中 学数学应当以函数为中心。第二次世界大战之后，函 数思想全面进入中学数学课程。 中国在1949年以前，中学里的数学课程依然是 “以代数为纲”，方程式论占据绝大部分篇幅。 到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏 联，函数终于取得了中学数学过程中的核心地位
现在,函数是中学数学的核心内容。 在初中阶段,以平面直角坐标系和实数为基础,介 绍了常量与变量、函数的概念及其表示法, 然后具体研究了正比例函数及其图像、反比例函数 及其图像、一次函数的图像和性质、抛物线的顶点和 开口方向等内容。 在高中阶段,主要介绍,二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数等内容, 并将函数和方程、曲线联系起来,为微积分教学提 供评弹,为描摹现实世界提供数学模型。 2021/1/28
2021/1/28 现在，函数是中学数学的核心内容。 在初中阶段，以平面直角坐标系和实数为基础，介 绍了常量与变量、函数的概念及其表示法， 然后具体研究了正比例函数及其图像、反比例函数 及其图像、一次函数的图像和性质、抛物线的顶点和 开口方向等内容。 在高中阶段，主要介绍，二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数等内容， 并将函数和方程、曲线联系起来，为微积分教学提 供评弹，为描摹现实世界提供数学模型
第二节函数的三种定义 1函数的变量说定义:一般地,假设在一个变化 过程中有两个变量x与y,如果变量y随着x的变 化而变化,那么就说x是自变量,y是因变量,也称 y是x的函数。 x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值对应的 y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 这种描述性的定义,是函数的传统定义。它建立在 变量的基础上,强调了变化,而描述变化,正是函数 最重要的特性。上世纪50年代的中学数学教材中的函 数定义就是这样的 2021/1/28
2021/1/28 第二节 函数的三种定义 1.函数的变量说定义：一般地，假设在一个变化 过程中有两个变量 x 与 y，如果变量 y 随着 x 的变 化而变化，那么就说 x 是自变量，y是因变量，也称 y 是 x 的函数。 x 的取值范围叫做函数的定义域，与x的值对应的 y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 这种描述性的定义，是函数的传统定义。它建立在 变量的基础上，强调了变化，而描述变化，正是函数 最重要的特性。上世纪50年代的中学数学教材中的函 数定义就是这样的
函数定义的变量说,是对函数的一个宏观的、整体 的把握,不能放弃,却也不能不发展。 应该看到,这个定义中的变量概念难以精确化。什 么是变量,并没有给出明确的定义。同时,因变量如 和“依赖”自变量、也没有说明。 于是,就容易对“y=x2与x=y2是否为同一个函数” 而产生误解。 更仔细的分析,会发现常数函数y=sinx+cosx(=1), x变了,y却不变,从字面上看就不是“随自变量的变化 而变化”了。 因此,我们需要一个更加细致、更精确的函数定义 2021/1/28
2021/1/28 应该看到，这个定义中的变量概念难以精确化。什 么是变量，并没有给出明确的定义。同时，因变量如 和“依赖”自变量、也没有说明。 于是，就容易对“y=x 2与x=y 2是否为同一个函数” 而产生误解。 更仔细的分析，会发现常数函数y=sin2 x+cos2 x(=1), x变了，y却不变，从字面上看就不是“随自变量的变化 而变化”了。 函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体 的把握，不能放弃，却也不能不发展。 因此，我们需要一个更加细致、更精确的函数定义