§1可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性,这是多 元函数微分学最基本的概念.然后给出对单 个自变量的变化率,即偏导数,偏导数无论 在理论上或在应用上都起看关键性的作用 可微性与全微分 偏导数 三、可微性条件 可微性的几何意义及应用 前页)看后页)(级回
前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多 元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单 个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论 在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件
、可微性与全微分 定义1设函数z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义对于P(x,y)=(x+△x,+△)∈U(P,若∫在 P的全增量Az可表示为: △Z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0) A△x+B△y+0(), 其中A,B是仅与点P有关的常数,p=√△x2+△y2 0(p)是p的高阶无穷小量,则称∫在点P可微 并称(1)式中关于△x,4y的线性表达式A△x+B△y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一、可微性与全微分 定义 1 设函数 0 z f x y U P = ( , ) ( ) 在某邻域 内有定 0 0 0 义.对于 P x y x x y y U P ( , ) ( , ) ( ), = + + 若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), z f x x y y f x y A x B y o = + + − = + + (1) P0 2 2 其中A,B是仅与点 有关的常数 = + x y , , o( ) 是 的高阶无穷小量 P0 , 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于 x y A x B y , 的线性表达式 +
为∫在P的全微分,记作 dk|n=df(x0,y0)=A△x+B△y. 由(1),(2)可见,当|△x|Ay|充分小时,全微分d 可作为全增量4z的近似值,于是有近似公式: f(x,y)≈f(x0,y)+A(x-x0)+B(y-y).③3) 在使用上,有时也把(1)式写成如下形式: △乙=A△x+B△y+a△x+B△y, 这里ima=imB=0 (△x,△y)→>(0,0) (△x,△y)→>(0,0) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 由 (1), (2) 可见,当 | |, | | x y 充分小时, 全微分 dz ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim 0. x y x y → → 这里 = = z A x B y x y = + + + , (4) 0 d | d ( , ) . P 0 0 z f x y A x B y = = + (2) 0 为 f P 在 的全微分, 记作 可作为全增量 z 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： 0 0 0 0 f x y f x y A x x B y y ( , ) ( , ) ( ) ( ). + − + − (3)
例1考察∫(x,y)=xy在任一点(xy)的可微性 解∫在点(x0,y)处的全增量为 △f(x0,y0)=(x+△x)(y+△y)-xy =y0△x+x0△y+△x△p 由△x△y|△x1△yP→>0(0→0, 因此Δx△y=0(p).从而f在(x,)可微,且 df=y△x+x0△y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 例1 考察 0 0 f x y xy x y ( , ) ( , ) . = 在任一点 的可微性 解 f 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量为 0 0 0 0 0 0 f x y x x y y x y ( , ) ( )( ) = + + − 0 0 = + + y x x y x y . 由于 | | | | | | 0 ( 0), x y x y = → → 0 0 因此 从而 在 可微 且 x y o f x y = ( ). ( , ) , d . 0 0 f y x x y = +
二、偏导数 由一元函数微分学知道:若f(x)在x0可微,则 f(x0+△x)-f(x)=A△x+0(△x,其中A=f(x) 现在来讨论:当二元函数∫(x,y)在点(x0,y)可微 时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值? 为此在(4)式中先令△y=0(△x≠0,这时得到f关 于x的偏增量为 △,z=A△x+a△x或 A+a △y 前页)后页)返回
前页 后页 返回 二、偏导数 由一元函数微分学知道: 若 0 f x x ( ) , 在 可微 则 0 0 f x x f x A x o x ( ) ( ) ( ), + − = + 其中 0 A f x = ( ). f x y ( , ) 0 0 现在来讨论: 当二元函数 在点 ( , ) x y 可微 时, (1) 式中的常数 A, B 应取怎样的值？ 为此在(4)式中先令 y x f = 0 ( 0), 这时得到 关 于 的偏增量为 x . x x z z A x x A x = + = + 或
现让△x→0,由上式便得A的一个极限表示式 A=lim 4 f(x0+△x,y)-f(x0,y0) =Im (5) △x→>0△x△x→0 △x 容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数 f(x,yo)在x=x0处的导数 类似地,在(4)式中令△x=0(△y≠0),又可得到 B= lim Z= lim J(xo, Jo+ Ay)-/(o3 o).(6) △y→>0△ △y→>0 △ 它是关于y的一元函数f(x02y)在y=y处的导数 二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自 前页)后页)返回
前页 后页 返回 现让 由上式便得 的一个极限表示式 x A →0, 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim . x x x z f x x y f x y A x x → → + − = = (5) 容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数 0 0 f x y x x ( , ) . 在 处的导数 = 类似地, 在 式中令 (4) 0 ( 0), x y = 又可得到 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y B y y → → + − = = (6) 它是关于 y 的一元函数 0 0 f x y y y ( , ) . 在 处的导数 = 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自
变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下: 定义2设函数z=f(x,y)2(x,y)∈D,且f(x,y)在 o的某邻域内有定义.则当极限 f(x0+△x,y0)-f(x0,y m m △x→>0△x△x→>0 △x 存在时,称此极限为∫在点(x0,)关于x的偏导数, 记作 ∫(x0,y,或 af az ax x 前页)后页)返回
前页 后页 返回 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下: 0 x 的某邻域内有定义. 则当极限 存在时, 称此极限为 0 0 f x y 在点( , ) 关于x 的偏导数, 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . x x y x y f z f x y x x 或 0 定义 2 设函数 且 在 z f x y x y D f x y = ( , ), ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y x x → → + − = (7)
类似地可定义∫在点(x,)关于y的偏导数: lim f(xo,Jo+Ay)-f( 090 m Ay→0△y△y→>0 △ 记作 ∫,(x,1,或of az y(o, yo oy I(o, y 注1这里 00 是专用于偏导数的符号,与一元 or dy 函数的导数符号相仿,但又有区别. 前页)后页)返回
前页 后页 返回 类似地可定义 0 0 f x y 在点( , ) 关于 y 的偏导数: 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y y y → → + − = (7) 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . y x y x y f z f x y y y 或 注1 , x y 这里 是专用于偏导数的符号,与一元 d dx 函数的导数符号 相仿,但又有区别
注2在上述定义中,∫在点(x,y)存在对x(或y) 的偏导数,此时∫至少在 ((r,y)|y=yo,) (或{(x,y)|x=xy-1<8})上必须有定义 显然,在定义域的内点处总能满足这种要求,而在 界点处则往往无法考虑偏导数 若函数z=f(x,y)在区域D上每一点(x,y)都存在 对x(或对y)的偏导数,则得到z=f(x,y)在D上 对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作 前页)后页)返回
前页 后页 返回 注2 在上述定义中, 0 0 f x y 在点( , ) 存在对 x (或 y) 的偏导数 此时 至少在 , f ( , ) , | | x y y y x x = − 0 0 ( 或 上必须有定义 ( , ) , | | . x y x x y y = − 0 0 ) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数． 若函数 z f x y = ( , ) 在区域 D 上每一点 ( , ) x y 都存在 对 x (或对y)的偏导数, 则得到 z f x y = ( , ) 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
J(x,y)或O/(x,y ∫(x,y)或 af(x,y) ax 也可简单地写作f,,或O fn,z,或 af ax y 偏导数的几何意义:z=∫(x,y)的几何图象通常是 三维空间中的曲面,设P0(x0,y,)为此曲面上一 点,其中=f(x0,).过点P作平面y=y,它与 曲面相交得一曲线: C:y=y,z=∫(x,y) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , x y f x y f x y f x y f x y x y 或 或 , , , , . x x y y f f f z f z x y 也可简单地写作 或 或 偏导数的几何意义: z f x y = ( , ) 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 0 0 0 0 P x y z ( , , ) 为此曲面上一 0 0 0 z f x y = ( , ) . 0 0 点, 其中 过点 作平面 它与 P y y = , 曲面相交得一曲线： 0 C y y z f x y : , ( , ). = =