第七节多元函数的极值 问题的提出 △多元函数的极值及其求法 条件极值及拉格朗日乘数法 小结思考题
第七节 多元函数的极值 问题的提出 多元函数的极值及其求法 条件极值及拉格朗日乘数法 小结 思考题
问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每 瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估 计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的 每瓶卖J元,则每天可卖出70-5x+4y瓶本 地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁 问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益? 每天的收益为f(x,y)= (x-1)(70-5x+4y)+(y-12)(80+6x-7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ x y 70 − 5x + 4y 80 + 6x − 7 y 每天的收益为 f (x, y) = (x −1)(70 − 5x + 4y) + ( y −1.2)(80 + 6x − 7 y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 一、问题的提出
二、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=-的图形 +y
二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放
1、二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,yn)的某邻域内 有定义,对于该邻域内异于(x0,y)的点(x,y): 若满足不等式f(x,y)∫(x0,y),则称函数在(x0,y0)有极 小值 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点
设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数 在 ( , ) 0 0 x y 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有 极 小值； 1、二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点
例1函数z=3x2+4y2 在(000处有极小值 (1) 例2函数z=-x2+y2 在(0,0)处有极大值 例3函数乙 在(0,0)处无极值 (3)
(1) (2) (3) 例 1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy
2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且 在点(x0,y)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:f(x0,y)=0,f(x0,)=0 证不妨设z=∫(x,y)在点x0,y)处有极大值, 则对于(x0,y0)的某邻城内任意 (x,y)≠(x0,y )都有∫(x,y)<f(x0,y0)
定理 1（必要条件） 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在 点( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x (x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 f y x0 y0 = . 2、多元函数取得极值的条件 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 证
故当y=J,x≠x时,有f(x,y)<f(x0,y), 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值, 必有f(x0,yv)=0; 类似地可证f(x。,y)=0 推广如果三元函数u=f(x,y,x)在点P(x0,y0,0) 具有偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条 件为 x(x0,Jo,ao)=0,J(x0,y,z)=0 0 05y00
故当 0 y = y ，x x0时，有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数乙=xy的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数
例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点，但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 注意：
又Jx(x0,y)=0,f(x,V)=0, 令f(x0,)=A,J(x0,y)=B, ∫m(x0,y)=C 则f(x,y)在点(x0,y)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值, 当A0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值, 还需另作讨论
又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0， 令 f x x ( x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B， f yy (x0 , y0 ) = C， 则 f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B 时具有极值， 当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值； （2） 0 2 AC − B 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．
例4求由方程x2+y2+z2-2x+2 4z-10=0确定的函数z=∫(x,y)的极值 解将方程两边分别对x,y求偏导 ∫2x+2x-2-4x=0 2y+2z·z+2-4z1,=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1), 将上方程组再分别对x,y求偏导数
例 4 求由方程x y z 2x 2 y 2 2 2 + + − + − 4z − 10 = 0确定的函数z = f ( x, y)的极值 将方程两边分别对x, y求偏导 + + − = + − − = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,−1), 将上方程组再分别对x, y 求偏导数, 解