《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）三重积分（概念、计算）

第三节 第十章 三重积分 三重积分的概念 二、三重积分的计算 00000 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第十章

三重积分的概念 引例:设在空间有限闭区域g内分布着某种不均匀的 物质,密度函数为(xy)∈C求分布在内的物质的 质量M 解决方法:类似二重积分解决问题的思想,采用 “分割,代替,取和,求极限” Q2 可得 M=1im∑(5k,k5k)△ △ 1→>0k=1 (5k,7k25k) 00000 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v  ( , , )  k k  k k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C,求分布在  内的物质的 可得   n k 1 0 lim  M  “分割, 代替, 取和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为

设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的 有界区域上的有界函数.用若干光滑曲面所 组成的曲面网T来分割V,把V分成n个小区域 V1,V2…,Vn,以∠V(i=1,2,…,n)表示V的体积, T|=max{v的直径;.任取(,m,f5;)∈v, I<isn 作积分和∑f(5,n15)∠AV 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 3 设f (x, y,z)为定义在三维空间可求 体积的 有界区域 V上的有界函数 . 用若干光滑曲面所 把V 分成n个小区域 , , , . V1 V2  Vn 以 ( 1,2, , )表示 的体积, i n Vi V i   || || max{ }. 1 i的直径 i n T V    ( , , ) , 任取  i i  i Vi 作积分和 ( , , ) . 1   n i i i i Vi f     组成的曲面网T来分割V

定义3.1设f(x,y,)为定义在三维空间可求体积 的有界闭区域V上的函数,A是一个确定的常数 如对∨E>0,都彐δ>0,使得对于V的任何 分割,无论(5;,;,5)∈V如何取,只要‖T|<δ, 都有 ∑f(5,n,51)AV-AKE 则称∫(x,y,z)在上可积,数A称为f(x,y,x) 在V上的三重积分 记为:A=(xy,20m 或A f(x,y, z)dxcdyda 000018 目求上贝下贞返回果

目录 上页 下页 返回 结束 4 设f ( x, y,z)为定义在三维空间可求 体积 A是一个确定的常数 . 如对  0, 都   0, 无论 ( , , ) 如何取, 只要 ||T ||  ,  i i  i Vi 都有 | ( , , ) | , 1          f V A n i i i i i 则称 f (x, y,z)在V上可积, 数 A 称为 f (x, y,z) 在V上的三重积分. 的有界闭区域V上的函数, 使得对于V的任何 分割, 定义3.1 记为 : ( , , ) ,   V A f x y z dV ( , , ) .   V 或 A f x y z dxdydz

A=(x,)d, 其中:f(x,y,x)-被积函数, x,y,4 积分变量, 积分区域 当f(x,2)=1时,在数值上等于的体积 可积性条件和性质,完全类似于二重积分情形 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 5 ( , , ) ,   V A f x y z dV 其中: f (x, y,z)------被积函数, x, y,z ------积分变量, V ------积分区域. 当 f ( x, y,z) 1时, dV在数值上等于V的体积. V   可积性条件和性质 ,完全类似于二重积分情 形

二、三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 1.长方体 定理3.1设f(x,y,z)在长方体V={a,bx|c,d×le,h 上的三重积分存在,且对任何x∈[a,bl 1(x)-0(xy3)存在,D=1, D 则积分d(x,y,)d也存在,且 D b f(x, y, z)dxdydz= dell f(x,y, z)dydz D 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 6 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 二、三重积分的计算 1. 长方体 设 f (x, y,z) 在长方体V  [a,b][c,d] 上的三重积分存在 , 定理3.1 [e,h] 且对任何 x [a,b], 存在,   D I(x) f (x, y,z)dydz D  [c,d][e,h],  V f (x, y,z)dxdydz ( , , )    D b a dx f x y z dydz ( , , )   D b a 则积分 dx f x y z dydz也存在, 且

若∫(x,y,z)在长方体V=a,b×,dl×e,hl 上连续,则 ∫dk=jad(x,ah =∫d/(x,)d D h dx dyl f(x,y,z)dz 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 7 ( , , ) . b d h a c e  dx dy f x y z dz    若 f (x, y,z) 在长方体V  [a,b][c,d] [e,h] 上连续,则  V f (x, y,z)dxdydz ( , , )    D h e dz f x y z dxdy    D h e dxdy f (x, y,z)dz

2.一般区域 z=z2(x,y) (1)“先一后二法” 如 特点: 平行于z轴且通过D D 的内点的直线与V的 (x,y)/y=y2(x) 边界相交不多于两点.x y=y,(r) V={(x,y,x)|1(x,y)≤z≤2(x,y) y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b} 目求上下贞返回”结果

目录 上页 下页 返回 结束 8 如 图 x y z o V D 1 z 2 z ( , ) 1 z  z x y ( , ) 2 z  z x y a b ( ) 1 y  y x ( x, y) ( ) 2 y  y x (1)“先一后二法” 2. 一般区域 特点 : 边界相交不多于两点． 的内点的直线与 的 平行于 轴且通过 V z D y1 (x)  y  y2 (x), a  x  b V  {(x, y,z)| } ( , ) ( , ), 1 2 z x y  z  z x y

定理3.2设f(x,y,2)在V上连续,z1(x,y),2(x,y) 在D上连续,n1(x),y2(x)在a,b上连续, 则有 盯(x,2)h=订(xy,2lt D b y2(x) dx dy f(x,y, z)dz 乙1(x,y) 若D为Y型区域, () rz2(x,y) dylan f(x, y, z)da x1(y) Z1(x,y) 当投影到x平面或yz平面上时,结果类 目求上下贞返回”结果

目录 上页 下页 返回 结束 9     D z x y z x y V f x y z dxdydz dxdy f x y z dz ( , ) ( , ) 2 1 ( , , ) ( , , )     b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 ( , , ) 若D为Y型区域，     d c x y x y z x y z x y dy dx f x y z dz ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 ( , , ) 当V投影到zx平面或yz平面上时,结果类似. 设 f (x, y,z) 在V上连续， ( , ), ( , ) 1 2 z x y z x y 在 D 上连续，y1 (x), y2 (x)在[a,b]上连续， 则有 定理3.2

例1计算[zd,其中v为由x≥0,y≥0,z≥0, x2+y2+z2≤R围成的区域 解V={(x,y,x)0≤z≤R2-x2-y2, 0≤y≤√R2-x2,0≤x≤R} ∫=asd,zh R dx (R2-x2-y2) R 16 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 10 2 2 2 2 , 0, 0, 0, . V zdV V x y z x y z R       计算 其中 为由 围成的区域 解 0 ,0 } {( , , )| 0 , 2 2 2 2 2 y R x x R V x y z z R x y                   2 2 2 2 2 0 0 0 R x R x y V R zdV dx dy zdz       2 2 0 2 2 2 0 ( ) 2 1 R R x dx R x y dy . 4 16 1   R 例1