欧式空间 17.1.1点的分类及其性质 1.内点、外点、边界点 在Rn中给定一个集合S,按照点与集合S的位置关系可将R中的点分为 类S的内点、外点、边界点 S的全体内点组成的集合称为S的内部记为intS或S S的全体边界点组成的集合称为S的边界,记为0s
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2.聚点 如果按照去心邻域进行分类则可将R中的点分为S的聚点与非聚点两类 对于mERv,如果在m的仨一去心邻域中总有S的点则称a为S的聚点 S的全体聚点组成的集合记为S,称为S的导集 显然内点一定是聚点,外点一定不是聚点 如果m∈S,且存在m的一个邻域Oc)ns={m},则称为S的孤立点 孤立点一定不是聚点,而边界点有可能是聚点也有可能是孤立点 下述两个等价定义 定义(1)设点x∈Rn,如果在它的任何邻域O6(m)内总会有S中的无穷 多个点则称x是S的一个聚点 定义(2)设点a∈R”,如果存在由相异点组成的一个点列{an}CS,an≠ r(=1,2,…)使得n→正则称为S的一个聚点,这里cn→的含义是 ditn,)→0
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例题1711证明集台S的导集的聚点是S的聚点即(4)CS 17.12集合的分类及其性质 1.开集、闭集如果imts=S,则称S为开集开集有如下重要性质 (1)任意多个开集的并集是开集 (2)有限多个开集的交集是开集; (3全空同R和空集②都是开集 开集的余集定义为闭集 S的闭包为5=Su:.§=Sud5 下列条件等价:(1)S是闭集; (2)scS(即S=5); (3)ascS{即S=S
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例题1712设S为R中的一个集合,则∂s为闭集 2紧集,凸集 设EcR°如果E中的任一点列都有一子列收敛于E中的一 点,则称E是R中的一个列紧集 下面的定理道出了R中的列紧集实际上是有界闭集 定理84.1R中的集合E为列紧集的充分必要条件是E为有界闭集 设S是Rn的一个集合,如果在S的任何一个无限开覆盖 {Oa}aet中总可以找出有限个开集O1…,O,同样可以覆盖S,即UO2S 则称S是R的一个紧集 在R中紧集与有界闭集的定义是等价的(紧性定理
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设E是R的一个集合若m1,x2∈E,有x=tax1+(1-t)x2∈E(0≤ t≤1)则称E为凸集从几何上看,以x,m2为端点的直线段位于E内 例题1713紧集的闭子集是紧巢 3.连逼集、区域 设D是R的一个集合,如果当D分解为两个不相交的 非空子集的并集AUB时有44∩B≠或者A∩B≠则称D为连通集 连通的开集称为区域或开区域开区域的闭包称为闭区域 当D是开集时我们有:开集D是连通集的充分必要条件是D不能分解为两个 不相交的非空于开集的并
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在R中连通集有特别直观的描述 R中集合D是连通集的充分必要条件是D为区间 更为直观并易于判断的概念是道路连通集设D是R"的一个集合,如果当 D内任何两点P,q,都可以找到连续曲线lcD将P和q联结则称D为道路 连通集」这里的连续曲线是指l可以表示为参数方程 z;=φ(t),i=1,2,…,n, 其中诸是区间风,1上的连续函数,并且p=(10),210),…,4n(0),q (1(1),￥21),…,n(1) 可以证明道路连通集一定是连通集,但连通集未必是道路连通集 命题1711R”中的区域都是道路连通的
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§172Rn中的几个基本定理 1721综述 R中的六个基本定理(见第三章)能推广到R(n>1)上的是四个定理,它 们是 闭矩形套定理 (2)凝聚定理R中的有界点列一定有收敛子列(或聚点定理:有界无限点 集一定有聚点; (3) Cauchy收敛准则:收敛点列→基本点列 (4)紧性定理:R中的点集S是紧集的充要条件是S为有界闭集(覆盖定 理) 其他两个定理(确界存在定理,单调有界定理)之所以不能推广到高维空间, 是因为它们与一维直线上的点的顺序有关
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下面我们利用 De Morgan法则给出紧性定理的另一种等价的表达形式 定义设集合S∈Rn,称R中的子集族{Fxr关于S具有有限交性质 若对于I的任何有限子集J均有 sn(∩F≠ λ∈J 命题1721R中的集合S是紧集的充要条件是任何关于S具有有限交 性质的闭集族{Fkr与S必有非空交即 sn(∩F)≠ λ∈I 例题1721(闭集套定理)设{D}是一列非空闭集它满足 (1)Dk+1CDk,k=1,2, (2)Dk的直径bk=supm-y→0(k→∞) z,y∈Dk 则这列闭集Dk(k=1,2,…)存在椎一的公共点 例题1722设S为Rn中的集合,若S既开且闭,则S=R或S=②
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例题1723按(1)→(2)→(3)→(1)的次序证明以下三个命题的等价性 (1)S是紧集 (2)S的任一无限子集必有聚点在S中 (3)S是有界闭集 例题1724设S1,S2都是R”中的有界闭集,S1∩S2=,证明存在两个 开集O1和O23使得S2CO4,1=1,2,且O1nO2=②
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第十八章多元函数的极限与连续 §18.1多元函数的极限 18.1.1极限 设a∈R",n元函数∫在a的某个去心邻域中有定义,A为某一常数,若 Ⅴs>0,36>0,当00,36>0,当x∈O6(a){a}时,有f(c)∈O2(A) 从邻域的观点看,多元函数极限的定义与一元函数极限的定义完全一样但 现在是在高维空间中讨论,x→a是指x以任何方式或沿任何曲线趋于a.其趋 近方式要比一元函数的情形复杂得多.一个简单的例子是讨论f(x,y)= x2+y2 在(0,0)点的二重极限是否存在 10
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