北京师范大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 数列极限（主讲：郇中丹）

第三章数列极限 郇中丹 2006-2007学年第一学期

1 第三章 数列极限 郇中丹 2006-2007学年第一学期

基本内容 §1数列的基本概念 §2数列极限 §3数列收敛条件和列紧性

2 基本内容 • §1 数列的基本概念 • §2 数列极限 • §3 数列收敛条件和列紧性

§1.数列的基本概念 常用关系式和不等式 归纳法和二项式 数列的定义和运算 数列的有界性 无穷小数列 无穷小数列举例 习题五

3 §1. 数列的基本概念 • 常用关系式和不等式 • 归纳法和二项式 • 数列的定义和运算 • 数列的有界性 • 无穷小数列 • 无穷小数列举例 • 习题五

常用关系式和不等式 对于a,b,c∈R 1.sn(a)≤x<sn(a)+10^xn};特别,a]≤a<[a]+1 2.|a-bl≤a+bl≤al+b 3. ab=la bl, la/b=la bl 4.若a≤b,则a+c≤b+c 5.若a≤b,c≥0,则ac≤bc 6.infA+ cinf bsinfa+B≤supA+B≤supA+supB 其中A,B为非空实数集,A+B={x+ y XEA,yEB}

4 常用关系式和不等式 • 对于a, b, c  R: • 1. sn(a)x<sn(a) + 10^{-n}; 特别, [a]  a < [a] +1 • 2. |a| - |b|  |a+b|  |a| + |b| • 3. |ab|=|a| |b|, |a/b|=|a|/|b| • 4. 若a  b, 则a+c  b+c • 5. 若a  b, c  0, 则ac  bc • 6. inf A+inf Binf A+Bsup A+Bsup A+sup B 其中A, B为非空实数集, A+B={x+y |xA,yB}

归纳法和二项式 归纳法:验证与自然数有关命题P(n)的程序 1)证明P(1)成立; 2)假定P(k)或P),jk成立,证明P(k+1)成立; 则命题P(n)对任何自然数都成立 例子:(1)二项式公式:(+=2c,C=(8m=6 n 一般形式 n x1+…+x k1+…+k · bernulli不等式:设x>-1,x≠0,自然数n>1则 (1+x)^n>1+nx

5 归纳法和二项式 • 归纳法: 验证与自然数有关命题P(n)的程序: – (1) 证明P(1)成立; – (2) 假定P(k)或P(j), jk,成立, 证明P(k+1)成立; – 则命题P(n)对任何自然数都成立. • 例子: (1) 二项式公式: 一般形式: • Bernulli不等式: 设x> -1, x0, 自然数n>1.则 (1+x)^n>1+nx. ( ) !( )! ! 1 , 0 k n k n k n x C x C k n n k k k n n - =        + = = = ( )  + + = + + = k k n k m k m n m m m x x k k n x x     1 1 1 1 1 ! ! !

数列的定义和运算 定义1.映射fN→R叫作实数值数列,简称数列 记号:xn:=fn)叫座数列的第n项;铕时也记作x1, X2.X3 ,f{xn}或{xn} 例子:常数列、几何数列:xn=ar^n、差分数列 Xn= yn-yn+、部分和数列:xn=yn+.+yn 定义2(级数的算术运算)设f={xn}和g={yn}是 两各级数其算术运算就是通常的数值函数算术 运算仕g={ Xn tyng},g={Xnyn},fg={xnyn}

6 数列的定义和运算 • 定义1. 映射f: N→R叫作实数值数列, 简称数列. • 记号: xn:=f(n)叫座数列的第n项; f有时也记作x1, x2, x3, …, f={xn}或{xn}. • 例子: 常数列、几何数列: xn=ar^n、差分数列: xn= yn-yn+1、部分和数列: xn= y1+…+yn. • 定义2 (级数的算术运算). 设f ={xn}和g={yn}是 两各级数.其算术运算就是通常的数值函数算术 运算.fg={xn yn}, fg={xn yn}, f/g={xn/yn}

数列的有界性 定义3.数列{xn}分别叫作是有上界的、有下界 的、或有界的,如果存在常数c,使得∨n∈N,分 别有x≤cxn≥C,或xc相应地可以定义无上界 的、无下界的、或无界的 定义4无穷大数列∨c>0,nxn≤c}有限,验证上 vc>0,3n=n(c),使得n>n有>c 无穷小数列:Ve>0,{n|xnE}有限,验证上:Ve>0, 彐n=n(E),使得vn>n有xn<E 例子:xn=n,nl,1/n 定理.无穷大数列和无穷小数列的倒数关系

7 数列的有界性 • 定义3. 数列{xn}分别叫作是有上界的、有下界 的、或有界的, 如果存在常数c, 使得nN, 分 别有xnc xnc,或|xn|c. 相应地可以定义无上界 的、无下界的、或无界的. • 定义4.无穷大数列:c>0,{n||xn|c}有限,验证上: c>0,n0=n0(c),使得n>n0有|xn|>c; • 无穷小数列: e>0,{n||xn|e}有限,验证上: e>0, n0=n0(e),使得n>n0有|xn|<e. • 例子： xn =n, n!, 1/n • 定理. 无穷大数列和无穷小数列的倒数关系

无穷小数列 无穷小数列的初等性质:设{xn}和{yn}是无穷小 数列 (1){Xm}是无穷小数列,当且仅当{xm}是无穷小 数列;(2){xn+yn}是无穷小数列;(3){XnXy}是无 穷小数列;(4)若{xn}是常数列则{xn}是零数列 证明:基本论证方式# 命题:实数x=0当切仅当e>0,×≤c# 这是讨论一些问题时需要用到的常用手段

8 无穷小数列 • 无穷小数列的初等性质: 设{xn}和{yn}是无穷小 数列. (1) {xn} 是无穷小数列,当且仅当{|xn|}是无穷小 数列; (2) {xnyn}是无穷小数列; (3) {xnyn}是无 穷小数列; (4) 若{xn}是常数列, 则{xn}是零数列. • 证明: 基本论证方式. # • 命题: 实数x=0当切仅当e>0, |x|e.# • 这是讨论一些问题时需要用到的常用手段

无穷小数列举例 例1.当q0 则n>1时,(1+h)n>1+mh因此,q^n0则n>2时,(1+h)^n>n(n-1)h^2/2.因此, nq^n<2/(n-1)h^2)以下按定义写

9 无穷小数列举例 • 例1. 当|q|0. 则n>1时, (1+h)^n>1+nh. 因此, q^n0.则n>2时, (1+h)^n>n(n-1)h^2/2. 因此, nq^n<2/((n-1)h^2).以下按定义写

习题五(D 1.证明 H! x1+…+x ∑ k k1+…+km=n k1…k 2证明:对于自然数n>0, 2 1<(13…(2n-) 4n(24…(2n) 2n+1 3.证明 a+ a max(a, b 2 a+b a min(a b 2

10 习题五 (I) • 1. 证明: • 2. 证明: 对于自然数n>0, • 3. 证明: ( )  + + = + + = k k n k m k m n m m m x x k k n x x     1 1 1 1 1 ! ! ! 2 1 1 2 4 (2 ) 1 3 (2 1) 4 1 2 +            -  n n n n   ( ) ( ) 2 2 min , 2 2 max , a b a b a b a b a b a b - - + = - + + =