数学模型 第六章代数方程与差分方程模型 6.1投入产出模型 62CT技术的图像重建 6.3原子弹爆炸的能量估让 6.4市场经济中的蛛网模型 65减肥计划节食与运动 6.6按年龄分组的种群增长
6.1 投入产出模型 6.2 CT技术的图像重建 6.3 原子弹爆炸的能量估计 6.4 市场经济中的蛛网模型 6.5 减肥计划——节食与运动 6.6 按年龄分组的种群增长 第六章 代数方程与差分方程模型
数学模型 6.1投入产出模型 背景 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系, 每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工(投入) 变为自己的产品(产出) 根据各部门间投入和产出的平衡关系,确定各部 门的产出水平以满足社会的需求 ·20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究 从静态扩展到动态,与数量经济分析方法日益融合, 应用领域不断扩大 建立静态投入产出数学模型,讨论具体应用
• 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系， 每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入） 变为自己的产品（产出）. • 根据各部门间投入和产出的平衡关系，确定各部 门的产出水平以满足社会的需求 . • 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. • 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合， 应用领域不断扩大 . 6.1 投入产出模型 背景 建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用
(数学模型 投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 中国2002年投入产出表(产值单位:亿元) 产出农业工业建筑运输批零其他外部总产出 投入 业邮电餐饮服务需求 农业4647829131271312842918 工业499860514444035571223408316814 建筑业 5 9 20 23 12426912875 运输邮电62527128163671464771570 批零餐饮7974914043|1302739272341 其他服务146128527222521954227255414 初始投入1663485165970312183093 总投入2918168142875157023415414
投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 产出 投入 农业 工业 建筑 业 运输 邮电 批零 餐饮 其他 服务 外部 需求 总产出 农业 464 788 229 13 127 13 1284 2918 工业 499 8605 1444 403 557 1223 4083 16814 建筑业 5 9 3 20 23 124 2691 2875 运输邮电 62 527 128 163 67 146 477 1570 批零餐饮 79 749 140 43 130 273 927 2341 其他服务 146 1285 272 225 219 542 2725 5414 初始投入 1663 4851 659 703 1218 3093 总投入 2918 16814 2875 1570 2341 5414 中国2002年投入产出表（产值单位：亿元）
数学模型 直接消耗系数表 由投入产出表直接得到 个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国2002年直接消耗系数表 产出农业工业建筑业运输邮电批零餐饮其他服务 投入 农业 0.159 0.047 0.080 0.008 0.054 0.002 工业 0.171 0.512 0.502 0.257 0.238 0.226 建筑业0.0020.010.0010.0130.0100.023 运输邮电0.0210.0310.04501040.0290.027 批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050 其他服务0.0500.0760.0950.1430.0940.100 农业每1亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品直接消耗0171亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系
直接消耗系数表 产出 投入 农业 工业 建筑业 运输邮电 批零餐饮 其他服务 农业 0.159 0.047 0.080 0.008 0.054 0.002 工业 0.171 0.512 0.502 0.257 0.238 0.226 建筑业 0.002 0.001 0.001 0.013 0.010 0.023 运输邮电 0.021 0.031 0.045 0.104 0.029 0.027 批零餐饮 0.027 0.045 0.049 0.027 0.056 0.050 其他服务 0.050 0.076 0.095 0.143 0.094 0.100 一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国2002年直接消耗系数表 由投入产出表直接得到 农业每1亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品 直接消耗0.171亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系
数学模型 投入产出的数学模型设共有n个部门 x第(部门的总产出4-对第部门的外部需求 第部门对第部门的投入 ∑ x.td xy第部门总产出对第部门的直接消耗 4直接消耗系数—第部门单位产出an=x,/x 对第-部门的直接消耗 每个部门的总产出等于总投入 a.x. td x第邮部门的总投入 x=(x, n×n x=Atd 13
投入产出的数学模型 xi~第i部门的总产出 di~对第i部门的外部需求 xij~第i部门对第j部门的投入 aij~直接消耗系数——第j部门单位产出 对第i部门的直接消耗 xij~第j部门总产出对第i部门的直接消耗 每个部门的总产出等于总投入 xj~第j部门的总投入 i n j xi =xij + d =1 ij ij j a = x / x j i n j xi =aijx + d =1 设共有n个部门 A = aij nn ( ) T n x (x , x ) = 1 T d d d n ( , ) = 1 x = Ax+d
数学模型 機型应用x=Ax+d(1-1)x=d,x=(-A)d 技术水平没有明显提高假设直接消耗系数不变 问题1如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮 电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500 420,300,0500,950,3000亿元,问这6个部门的总产 出分别应为多少? 求解A由直接消耗系数表给出 d=(1500,4200,3000,500,950,300 6个部门的总产出x=(3277,17872,3210, 1672,2478,588》(亿元)
技术水平没有明显提高 模型应用 假设直接消耗系数不变 问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮 电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000亿元, 问这6个部门的总产 出分别应为多少？ d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系数表给出 6个部门的总产出x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）. x = Ax+d ( ) , I A x d − = x I A d 1 ( ) − = − 求解
数学模型 機型应用x=Ax+d(1-1)x=d,x=(-4)d 问题2如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少? 求解总产出对外部需求线性 △-增加1个单位增量Ax=(1-A)△d 若农业的外部需求增加1单位△d=(1,0,0,0,0,0)y △x为(-A)的第1列 6个部门的总产出分别增加1266,0.5624, 0.0075,0.0549,0.0709,0.1325单位 其余外部需求增加1单位△x为(-A)的其余各列
模型应用 x = Ax+d ( ) , I A x d − = x I A d 1 ( ) − = − x = I − A d −1 ( ) 总产出对外部需求线性 Δd~d增加1个单位 x的增量 若农业的外部需求增加1单位 T d = (1,0,0,0,0,0) 1 ( ) − Δx为 I − A 的第1列 6个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624， 0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位. 问题2 如果6个部门的外部需求分别增加1个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？ 求解 其余外部需求增加1单位 1 ( ) − Δx为 I − A 的其余各列
数学模型 62CT技术的图像重建 背景 CT(计算机断层成像)技术是20世纪50至70年代由 美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的 1971年第一代供临床应用的CT设备问世 螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用 CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测 等领域也得到了广泛的应用 什么是CT,它与传统的X射线成像有什么区别?
6.2 CT技术的图像重建 • CT(计算机断层成像 )技术是20世纪50至70年代由 美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的. • 1971年第一代供临床应用的CT设备问世. • 螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用. • CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测 等领域也得到了广泛的应用. 背景 什么是CT，它与传统的X射线成像有什么区别？
数学模型 概念图示一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球 单方向观察无法确定让物体旋转从多角度观察能 球的数目和透明度分辨出5个球及各自的透明度 光源 光源 人眼 人眼 射(◎O胶光 O。) 线 片 管 探测器 人体内脏 人体内脏 图像 传统的X射线成像原理 CT技术原理重建 CT技术:在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接 收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线 经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建
光源 人眼 光源 人眼 概念图示 一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球 单方向观察无法确定 球的数目和透明度 让物体旋转从多角度观察能 分辨出5个球及各自的透明度 人体内脏 胶 片 传统的X射线成像原理 CT技术原理 探 测 器 X 射 线 X 光 管 人体内脏 CT技术: 在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接 收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线; 经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建. 图像 重建
数学模型 X射线强度衰减与图像重建的数学原理 射线强度l物质在射线方向的厚度 ~入射强度物质对射线的衰减系数 射线强度的衰减d dI=oe" 率与强度成正比 射线沿直线L穿行,穿过由 不同衰减系数的物质组成的 (x,y) 非均匀物体(人体器官) L x 1d→|,1(x,y)dl I=lo expl, u(x, y)d) d [ux, yd/=In
X射线强度衰减与图像重建的数学原理 • 射线强度的衰减 率与强度成正比. I~射线强度 l~物质在射线方向的厚度 μ~物质对射线的衰减系数 I dl dI = − I0 ~入射强度 • 射线沿直线L穿行, 穿过由 不同衰减系数的物质组成的 非均匀物体(人体器官). l I I e − = 0 = L I I x y dl 0 ( , ) ln = − L I I exp( (x, y)dl) 0 I0 L 0 y x μ(x, y) L l (x, y)dl)