《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）换元积分法

第二节 第四章 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 换元积分法 第四章

基本思路 设F(n)=f(a),u=g(x)可导,则有 dFl(x]= flo(xlo(xdx (x)(x)dx=f[(x)+C=F()+C|v=0x) flu ) du u=p(x) 第一类换元法 「/[(x)】q(x)dx 第二类换元法Jf()d 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法 第一类换元法 f [(x)](x)dx  f (u)du  基本思路 设 F(u)  f (u), u (x) 可导,     f [(x)] (x)dx F[(x)]C ( ) ( )d u x f u u    ( ) ( ) C u x F u    dF[(x)]  f [(x)](x)dx 则有

第一类换元法 定理1.设f()有原函数,l=(x)可导,则有换元 公式 「八[o(x)(x)dx=「f()d 0(x) ∫八(x)9(x)dx=((x)间(x) (也称配元法,凑微分法) 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、第一类换元法 定理1. 设 f (u)有原函数, u (x)可导, 则有换元 公式    f [(x)] (x)dx  f (u)du u (x)  f ((x))d(x) (也称配元法 即    f [(x)] (x)dx , 凑微分法)

例1.求「ax+b)dx(m≠-1) 解:令u=ax+b,则du=udx,故 原式=ndn=1.1 u"T+C a m+ ar+6)m+I +c a(m+1) 注意换回原变量 注:当m=-1时 dx 1 Inax+b+C axtb a 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 (  ) d (  1).  ax b x m m 解: 令 u  ax  b ,则 d u  adx , 故 原式 =  m u u a d 1 a 1  u C m m    1 1 1 1 ( ) ( 1) 1     m ax b a m  C 注: 当m  1时    ax b d x ax b C a ln   1 注意换回原变量

例2求 dx 想到公式 a+x du 解: I d 1+L 1+ =arctan +C 令 u= 则du=-dx 1r du l arctan u+C a 1+u -arctan(-)+C 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2 2 1 d 1 ( ) x a x a    例2. 求   . d 2 2 a x x 解:   2 2 d a x x , a x 令 u  则 x a u d 1 d    2 1 u du a 1 u C a  arctan  1 C a x a  arctan( )  1 想到公式   2 1 d u u  arctan u  C ( ) x a 

例3.求 ax (a>0 x 解 dx d(a) C arcsin -+C 想到∫dn V1,.2= arcsinu+C 八(x)(x)dx=「f(0(x)d0(x)(直接配元) 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求    ( 0). d 2 2 a a x x    2 1 d u u 想到 arcsin u  C 解: 2 d 1 ( ) x a x a      f ((x))d(x) (直接配元)  f [(x)] (x)dx 2 d( ) 1 ( ) x a x a    C a x  arcsin     2 2 d a x x

例4.求[ tan xdx sIn x 解:「tndx= d COSX COSX -In cosx+C 类似 cosxax d SInx cot xdx sIn x sIn x In sin x +C 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 tan d .  x x 解:  x x xd cos sin    x x cos dcos  ln cos x C cot d  ?  x x  x x x sin cos d  ln sin x C   x x sin dsin   tan xdx 类似

x 例5求∫ 解: 1(x+a)-(x-a 2a (x-a(x+a) 2ax-a x+a 1r dx dx 原式?mlx-aJx+a d( X-a d (x+a 2a X-a x+a LIn x+a]+c x-a n +c 2a x+a 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 C x a x a a     ln 2 1 例5. 求 . d  2 2 x  a x 解: 2 2 1 x  a  (x  a)(x  a) (x  a)  (x  a) 2a 1  ) 1 1 ( 2 1 a x a x  a    ∴ 原式 =    2a 1      x a x x a dx d        2a 1    x a d(x a)    2a 1  ln x  a  ln x  a C     x a d(x a)

常用的几种配元形式: 1)If(ax+b)dx=lf(ax+b)d(ax+ )f(x")x"d f(x")d 3)j(x)-dx=1 b万能凑幂法 f( 4)I f(sin x)cos x=f(sin x)dsin x 5)If(cos x)sinxdx=-lf(cos x)dcos x 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式: 1) f (a x  b)d x   f (a x  b)  d(ax  b) a 1 1 2) ( ) d n n f x x x     ( ) n f x n dx n 1 1 3) ( ) d n f x x x    ( ) n f x n dx n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 4) f (sin x)cos xd x    f (sin x) dsin x 5) f (cos x)sin xd x     f (cos x) dcos x

6)f(tan x)sec xdx=f(tan x)dtan x 7)Sf(e )e dx=f(e")de 8)∫/(nxx=∫/(n)dnx dx 例6.求」 x(1+2nx) 解:原式 dIn d(1+2Inx 1+2Inx 2J1+2Inx In 1+2Inx +C 鲁 HIGHER EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 6)  f (tan x)sec xdx  2  f (tan x) dtan x  f x  x x 7) (e )e d  (e ) x f x de  x  x f x d 1 8) (ln )  f (ln x) dln x 例6. 求 . (1 2ln ) d  x  x x 1 2ln x dln x 解: 原式 =    2 1 2ln x 1 d(1 2ln x)  ln 1 2ln x  C 2 1