内容提要 本书系统地介绍了抽象代数这一重要数 学分支的最基本的内容，其中包括群论、 环论与域论，在域论这一章中还比较全面 地介绍了有限Galois理论，书中还配备了一 定数量、难易程度不一的习题，习题均有 解答或提示，书后有附录 本书可供综合性大学、师范大学数学系 学生阅读，可作为教材，亦可供理科各系 以及信息、通讯工程专业的大学生、研究 生及教师参考
前言 抽象代数是数学的一门重要分支众所周知,初等代数研究的是数集上的运 算,高等代数把数集扩展为向量空间、矩阵集和多项式集.抽象代数则以一般集 合上的运算作为研究对象 历史上,抽象代数起源于纯粹理性的思考.19世纪30年代法国天才的青年 数学家 Galois在研究困惑了人类几百年的用根式求解五次方程问题时,发现了 群. Galois不仅彻底地解决了一元n次方程用根式求解是否可能的问题,而且更 重要的是他使人们认识到,除了熟知的数外,在其他集合(如置换集)上也可能存 在着代数结构,即满足一定规则的运算 Galois虽然只活了21岁,但是他的发现 为数学开辟了一个崭新的研究领域随着19世纪末 Cantor集合论的建立,各种 代数结构被定义在一般的集合上,抽象代数的奠基工作完成了 20世纪是抽象代数学蓬勃发展的世纪Lie群、Le代数的出现使几何学和 代数学再次结成了亲密的伙伴,也给抽象代数带来了强大的发展动力拓扑学因 为有了抽象代数而得到了突飞猛进的发展,群、环、模成了研究拓扑空间性质的 基本工具,代数拓扑成了20世纪最引人注目的数学分支之一,而从代数拓扑学 产生的同调代数为代数学宝库增添了强有力的工具.数论、代数几何由于抽象代 数概念的导入彻底地改变了面貌代数学从与其他数学分支的结合中获得了前 所未有的生命力新概念不断出现,新的代数学分支不断生长数学这棵古老的 常青树从来没有像现在这样枝繁叶茂,生机勃勃 通常人们认为抽象代数很抽象,似乎离现实很远,没有多少用处.其实这是 一种误解.一切科学的抽象不是对现实的背离,而是对现实世界更深刻的反映 科学研究的对象扩大了,它的应用也就更广泛了,代数学也是如此抽象代数不 仅是现代数学不可缺少的组成部分,也是现代物理学、化学、计算机科学、通讯科 学不可缺少的工具.举例来说,有限域理论是抽象代数中相当“抽象”的理论,但 是数字通讯中的编码理论(特别是纠错码)却是以它为基础的因此当我们舒适
2抽象代数学 地聆听CD唱片或是欣赏CD(DVD)数码音像节目时,请记住其中也凝聚着数 学家们的辛劳.今天,有志于在现代数学、现代物理学、计算机科学等领域作出贡 献的年轻人,都应该懂得抽象代数的知识,在人类这一知识宝库中吸取营养,寻 求自己的发展 本书原是编者为复旦大学数学系学生编写的教材,它适用于已修完高等代 数的本科生本书内容按所讨论的代数结构分为4个部分.第一章为预备知识 第二章讨论群,在详细介绍了群、子群、正规子群、商群、同态和同构等基本概念 的基础上,着重介绍了循环群、置换群,介绍了有限群的几个基本定理,如 Sylow 定理等.利用群的直积可以把复杂的群分解为比较简单的群,有限生成Abel群 基本定理就是这一思想的体现,这个定理在代数拓扑学中有重要的应用,我们作 了详细的介绍.群列和可解群是为第四章 Galois理论作准备的第三章介绍环 论.环论,主要是交换环理论,它是代数几何与代数数论的基础.我们除了介绍 环、理想、商环、同态与同构外,还着重介绍了整环及其分式域、唯一分解环和多 项式环.第四章讨论域和 Galois理论.我们首先介绍了各种域扩张及其性质,然 后介绍了 Galois对应和 Galois理论基本定理,这是 Galois理论的核心.运用域 的扩张理论和 galois基本定理,我们给出了一元n次方程可用根式求解的充分 必要条件.我们还讨论了初等几何中尺规作图的可能性问题,如证明了用圆规和 直尺不可能将一个任意角三等分,给出了正n边形可用圆规和直尺作图的充分 必要条件.这些美妙的应用是 Galois理论的辉煌篇章,读者从中可以充分领略 到数学的美.本教程的内容通常分两学期授完,第一学期(每周3节课)讲完群论 和环论两章,第二学期(作为选修)讲完第四章.目录中带*的内容可作为选修. 本书力求深入浅出,对抽象的概念尽量用较多的例子加以说明.为了帮助读 者理解抽象代数习题的解题思路,本书附有书内习题的简答或提示.虽然本书是 在编者多年从事教学的基础上编成的,但不当之处仍然难免,敬请读者和同行专 家批评指正 编者 2005年6月于复旦大学
录 第一章预备知识………… 非非·非非非 §1.1集合… §1.2 Cartesian积 §1.3等价关系与商集 §1.4映射 ·········· §1.5二元运算 §1.6偏序与zorn引l理… 第二章群论 ……………………………………12 §2.1群的概念… §2.2子群及傍集 16 §2.3正规子群与商群 §2.4同态与同构… 26 §2.5循环群…… …32 §2.6置换群 ………………37 §2.7群对集合的作用 §2.8Syow定理 §2.9群的直积 §2.10有限生成Abe群 59 §2.11正规群列与可解群…………………… §2.12低阶有限群 着·,垂 …71 第三章环论…… §3.1基本概念…………… …78 §3.2子环、理想与商环…
2抽象代数学 §3.3环的同态 ……90 §3.4整环、分式域…… 94 §3.5唯一分解环… §36PID与欢氏整区 ……………103 §3.7域上的一元多项式环… 106 §38交换环上的多项式环 …111 §3.9素理想 115 §3.10模… 118 第四章域与 Galois理论 ………………………………125 §4,1域的扩张…………… ……125 §4.2代数扩域…… 非非 ……………………………129 §4.3尺规作图问题………… §4.4分裂域 §4.5可分扩域 ……………143 §4.6正规扩域 ……………148 §4.7 Galois扩域与 Galois对应 ………………151 §4.8有限域………… 159 §4.9分圆域 §4.10一元方程式的根式求解…… 165 §4.11正规基定理… 171 §4.12域的超越扩张 …174 附录I自由群… …179 附录I代数闭域 ……………………182 附录Ⅲ习题简答… ·,,·····,··· 184 参考文献 205
第一章预备知识 我们从中学就开始学习代数学这门课程,初等代数以数(整数、有理数、实 数、复数等)及其运算作为基本的研究对象数集上的运算有加、减、乘、除等.在 高等代数的课程中我们研究了向量、矩阵及其运算现在我们要研究一般集合 及其上的运算.对一般集合上运算的研究可以大大拓广数学研究的领域,为数学 的应用开辟广阔的道路 为了更好地理解抽象代数的内容,有必要先介绍一下集合论的一些基本概 念.我们不打算“严格”地阐述这些数学中最基本的概念(读者可以在公理集合论 的课程中学到它们的严格定义)我们只打算“朴素”地叙述其含义 3L,厂集灣合款司 读者已经学习过集合的概念所谓一个集合,我们把它理解为某一些事物的 总体.比如整数集就是指整数全体;有理数集是指有理数全体等等.集合常常 用英文大写字母来表示,如A,B,C等.一个集合中的某个具体的事物,称为 元素.元素常用小写英文字母表示,如a,b,c等我们用∈表示属于,a∈A表 示a是集合A中的元素.若a不是集合A中的元素,我们用a∈A来表示,不 含有任何元素的集合称为空集,用必表示,一个集合如果只含有有限个元素,则 称之为有限集反之则称为无限集集合A中一部分元素组成的集合称为A的 子集.若B是A的子集我们用符号BA来表示两个集合如果含有相同的元 素则称为相等,换句话说,若AsB,又BA,则A=B.若A,B不相等,则 用A≠B表示,为了清楚地表示一个集合,我们还经常采用下列表示方法 A={a∈S丨P(a)}, 这里表示A中的元素来自S且具有性质P举例来说集合A={a∈Z|a>1} 表示大于1的自然数,其中Z表示整数集又若记D是平面上点的集合且D中 元素用通常的实数偶(x,y)来表示(即D是 Descartes平面上点的集合),集合 s={(x,y)∈D|x2+y2=1}就表示该平面上的单位圆. 为了方便起见,我们在本书中采用下列固定的记号来表示一些常用的数集:
2抽象代数学 Z,表示整数集{0,士1,±2,…}; N,表示自然数集{1,2,3,…}; Q,表示有理数集 R,表示实数集; C,表示复数集 定义1-1设A,B是两个集合,记A∪B为A,B中所有元素组成的集 合,即 AUB={x|x∈A或x∈B} 称A∪B为集合A与B的并 例1若A={a,b,c},B={b,c,d,e,则AUB={a,b,c,d,e 定义1-2设A,B是两个集合,记A∩B为既属于集合A又属于集合B 的元素组成的集合,即 A∩B={x|x∈A又x∈B}, 称A∩B为集合A与B的交 例2记A,B为例1中的两个集合,则A∩B={b,c}. 若两个集合A,B无公共元素,即A∩B=,则称A与B不相交 定义1-3设B是A的子集,记A-B={a∈A|a∈B,即A-B是由 A中不属于B的元素构成的集合,称A-B为B在A中的余集或补集.A-B 有时也记为A\B 并、交、补都是集合之间最常用的运算,它们有下列性质 命题1-1设A,B,C都是集合,则有下列性质 (1)若AcB,则AUB=B,A∩B=A,特别,AUA=A,A∩A=A; (2)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A; (3)(A∪B)UC=AU(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (4)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(AUC), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); (5)若A,B是C的子集,则 C-(C-A)=A, C-(A∩B)=(C-A)∪(C-B) C-(A∪B)=(C-A)∩(C-B) 证明我们只证(5)中的第二个式子,其余的式子请读者自己证明.现设元
第一章预备知识3 素x∈C-(A∩B),这时若x∈C-A,则x∈C-(C-A)=A,但由假定 x∈A∩B,故x∈B,也就是说x∈C-B,从而C-(A∩B)≤(C-A)∪ (C一B). 反之,若x∈(C-A)∪(C一B),不妨设x∈C-A,显然C-AcC (A∩B),故x∈C-(A∩B),于是(C-A)∪(C-B)C-(A∩B).这 就证明了 C-(A∩B)=(C-A)∪(C一B).证毕 注性质(2)称为交换律,性质(3)称为结合律,性质(4)称为分配律,性质 (5)中的式子通常称为 Morgan公式.由于结合律成立,(A∪B)∪C及 (A∩B)∩C分别记为A∪B∪C及A∩B∩C,即括号可以被省略掉 并与交的概念可以推广到任意个集合上.为此,我们先引进所谓的“指标集 的概念.设有集合Ⅰ及一族集合F={A,AB,…}.对每个a∈I,均可在F中找 到唯一的一个集合A。与之对应,反之F中任一集合也可在Ⅰ中找到唯一的 个元素与之对应粗略地说,F中的集合可以用Ⅰ来标记.这样的集合Ⅰ被称为 是集族F的指标集举例来说,设数学系二年级有4个班,称为甲班、乙班、丙 班、丁班,若设F={甲班、乙班、丙班、丁班},则集合I={甲、乙、丙、丁}就是F 的指标集.指标集I可以是无穷集比如若I=N(自然数集),F={A;}ir,则 表示F={A1,A2,A3,…} 现令∪A。表示所有A(a∈D)的元素组成的集合,即 UA。={x|x属于某个A。}, 称UA。为{A2,a∈I}的并.类似地令∩A.表示所有A(a∈1)中公共元素组 成的集合,即 ∩A。={x|x属于每个A}, 称∩A。为{A,a∈I}的交 。12 Cartesian积3 定义2-1设A,B是集合,有序偶(a,b)(其中a∈A,b∈B)全体组成的 集合称为A与B的 Cartesian积(简称为A与B的积),记为A×B,即
4抽象代数学 A×B={(a,b)|a∈A,b∈B 注意A×B中两个元素(a,b)=(c,d)的充要条件是a=c且b=d. 例1A b,c},S={u,v,则A×S={(a,u) (b,U),(c,u),(c,v)} 例2若A=B=R,即实数集,则A×B=R×R={(x,y)|x,y∈R}, 就是 平面 积集合的概念也可以推广到n个甚至无穷多个集合设A1,A2,…,An是 个集,令 A1×A2×…×An={(a1,a2,…,an)|a;∈A 即n元有序序列全体的集合(第i个元取自A),就称为A1,…,A的 Cartesian积 对一族集{Aa,a∈I},也可以定义所有A的 Cartesian积.令A是这样 个集,它是集合I上这样的函数a的全体:对每个a∈I,a(a)∈A,则A称为 1A。}的 Cartesian积,记为XAa这个定义适合于一般的指标集I,无论Ⅰ为有 限或无限比如A1,…,An的 Cartesian积,这时I=1,2,…,n},对i∈I, a(i)=a;∈A,这样得到的A与上面定义的A1×…×A,完全一致 利用积集合,我们不仅可以从已知集合构造出新的集合来,还可以定义在数 学中起着极其重要作用的等价关系、映射等基本概念 器菜§1.3等价关系与商集 定义3-1设A,B是集合,积集合A×B的一个子集R就称为A到B的 一个关系,特别A×A的子集称为A上的一个关系 若(a,b)∈RCA×B,则称a与b为R相关,记为aR 定义3-2设R是A上的一个关系,若R适合下列条件: (1)自反性,若a∈A,则(a,a)∈R (2)对称性,若(a,b)∈R,则(b,a)∈R (3)传递性,若(a,b)∈R,(b,c)∈R,则(a,c)∈R; 则关系R称为A上的等价关系. 等价关系常用~表示,即a~b表示(a,b)∈R 例1设S是任意一个集合,S×S中所有形为(a,a)的元素全体构成的集 合R是一个等价关系,称为S上的恒等关系,这时a~b当且仅当a=b 例2设Z是全体整数集,定义a~b当且仅当a一b为偶数,即R (a,b)∈Z×Z|a-b为偶数},不难验证这也是一个等价关系
第一章预备知识5 例3设D是 Descartes平面,定义D中两点a~b当且仅当a与b到原点 的距离相等,则~也是一个等价关系 例4设S是平面上的一个圆,定义S上两点a~b当且仅当这两点同在 根直径上,则~也是一个等价关系 例5设Z是整数集,n是固定的自然数.定义整数a~b当且仅当a-b可 以被n整除,则~也是Z上的一个等价关系,当n=2时就是例2. 现设~是集合A中的一个等价关系,a是A的一个元素,与a等价的元素 全体组成A的一个子集,称为a的一个等价类,我们用[a]表示a的等价类例1 中a的等价类只含有一个元素例2中a的等价类为形如a+2k(k∈Z)的元素 全体,这时Z只含有两个等价类:奇数与偶数.例3中a的等价类为以原点为圆 心过a点的圆例4中每个等价类都含有两个元素.例5中的Z一共有n个等价 类:[0],[1],…,[n-1] 我们注意到,一个集合中由两个元素所在的等价类如不重合,则必不相交 即若[a]≠[b],则[a]∩[b=.因为如存在c∈[a]∩[b,则a~c,c~b. 但由传递性知a~b,于是[a]=[b],引出矛盾.由此我们看出如果一个集合上 定义了一个等价关系,则这个集合可以被划分成互不相交的等价类(子集)之并 一个集合如果能表示为两两互不相交的子集之并,则称这些子集族为该集合的 个分划.上面的分析表明集合上一个等价关系决定了该集合的一个分划 反过来,如果{A;}∈r是集合A的一个分划,即 A;∩A,=(i≠j),A=UA;, 在A上定义关系R如下: R={(a,b)∈A×A|a,b属于同一个A;} 则容易验证R是A上的一个等价关系.因此,给定A的一个分划,可以得到A 上的一个等价关系事实上我们有如下的命题 命题3-1设R是集合A上的一个等价关系,则R决定了A的一个分划 P,且由P导出的等价关系就是R反之给定A的一个分划P,则可得到A上的 个等价关系R,且由这个等价关系R决定的A的分划就是P 证明设R是A的等价关系,P是由上述方法得到的分划,又记R是由P 决定的A的等价关系,若(a,b)∈R,则a,b同属于P的某个元素(等价类), 于是(a,b)∈R,故RcR.反过来若(a,b)∈R,则a,b同属于P中某个 等价类,从而(a,b)∈R,即R'≤R,由此即得R=R 另一方面设P=A}是A的一个分划,它决定的A的等价关系记为R.再