数学模型 第四章教学规灲模型 41奶制品的生产与销售 42自来水输送与货机装运 43汽车生产与原油采购 44接力队选拔和选课略 45饮料厂的生产与检修 46钢管和易拉罐下料
第四章 数学规划模型 4.1 奶制品的生产与销售 4.2 自来水输送与货机装运 4.3 汽车生产与原油采购 4.4 接力队选拔和选课策略 4.5 饮料厂的生产与检修 4.6 钢管和易拉罐下料
数学模型 数学视划模型 实际问题中Mm(或Mx)z=f(x),x=(x1…xn) 的优化模型 St.g;(x)≤0,t=1,2m x~决策变量 fx)~目标函数gx)0约束条件 决策变量个数n和 数 多元函数约束条件个数m较大线性规划 条件极值 最优解在可行域 枧非线性规划 划整数规划 的边界上取得 重点在模型的建立和结果的分析
数学规划模型 实际问题中 的优化模型 st g x i m Min Max z f x x x x i T n . . ( ) 0, 1,2, ( ) ( ), ( , ) 1 = 或 = = x~决策变量 f(x)~目标函数 gi (x)0~约束条件 多元函数 条件极值 决策变量个数n和 约束条件个数m较大 最优解在可行域 的边界上取得 数 学 规 划 线性规划 非线性规划 整数规划 重点在模型的建立和结果的分析
数学模型 41奶制品的生产与销售 企业生产计 划 空间层次 工厂级:根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件,以最大利润为目标制订产品生产计划; 车间级:根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等,以最小成本为目标制订生产批量计划 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化,可 制订单阶段生产计划,否则应制订多阶段生产计划 本节课题
企业生产计划 4.1 奶制品的生产与销售 空间层次 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划； 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划. 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划. 本节课题
数学模型 例1加工奶制品的生产计划 题牛奶或/12小时3公斤A1一获利24元公斤 问 1桶 8小时4公斤A2一获利6元/公斤 每天:50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1 制订生产计划,使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶,买吗?若买,每天最多买多少? 可聘用临时工人,付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到30元/公斤,应否改变生产计划?
例1 加工奶制品的生产计划 1桶 牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？ 每天： 问 题
数学模型 模型牛奶或112小时3公斤A1获利24元/公斤 基本1桶 8小时4公斤A2 2 获利16元/公斤 每天50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1 决策变量x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A2 目标函数获利24×3x1 获利16×4x2 每天获利Mmxz=72x+64x2 线性 原料供应 x1+x2≤50 规划 约束条件劳动时间21+82≤40模型 加工能力 3x,<100 (LP) 非负约束 x1x≥0
1桶 牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 24×3x1 获利 16×4 x2 原料供应 x1 + x2 50 劳动时间 12x1 +8x2 480 加工能力 3x1 100 决策变量 目标函数 72 1 64 2 每天获利 Max z = x + x 约束条件 非负约束 x1 , x2 0 线性 规划 模型 (LP) 时间480小时 至多加工100公斤A1 每天 50桶牛奶 基本 模型
数学模型 模型分析与假设 线性规划模型 比上对目标函数的“贡A,A2每公斤的获利是与各自 例献”与x取值成正比产量无关的常数 性 x对约束条件的“贡每桶牛奶加工A1A2的数量,时 献”与x取值成正比间是与各自产量无关的常数 可对目标函数的“贡A1,A2每公斤的获利是与相互 加献”与x取值无关产量无关的常数 性x对约束条件的“贡每桶牛奶加工A,A2的数量时 献”与x取值无关间是与相互产量无关的常数 连续性x取值连续加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型分析与假设 比 例 性 可 加 性 连续性 xi对目标函数的“贡 献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡 献”与xj取值无关 xi取值连续 A1 ,A2每公斤的获利是与各自 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1 ,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数 A1 ,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数 每桶牛奶加工A1 ,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数 加工A1 ,A2的牛奶桶数是实数 线性规划模型
数学模型 模型求解图解法 x1+x2≤504:x+x2=50 约束条件 12x,+8x,≤480口l2:12x+8x2=480 B 3x,<100 3:3x1=100 C2=3600 1 0k4:x1=0,15:x2=0 D 目标Max==72x+64x2 Z=2400 函数 Z=0 z=c(常数)~等值线在B(20)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数广最优解一定在凸多边 可行域为直线段围成的凸多边形形的某个顶点取得 目标函数的等值线为直线
模型求解 图解法 x1 x2 0 A B C D l1 l2 l3 l4 l5 x1 + x2 50 12x1 +8x2 480 3x1 100 x1 , x2 0 约 束 条 件 l 1 : x1 + x2 = 50 l 2 :12x1 +8x2 = 480 l 3 :3x1 =100 l 4 : x1 = 0, l 5 : x2 = 0 72 1 64 2 Max z = x + x 目标 函数 Z=0 Z=2400 Z=3600 z=c (常数) ~等值线 c 在B(20,30)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得
数学模型 模型求解 软件实现 LINGO model: Global optimal solution found. max=72*x1+64*x2; Objective value 3360.000 Imilk xl +x2<50; Total solver iterations 2 Itime Variable value Reduced cost 12x1+8*x2<480 X120.00000 0.000000 cpc3*x1<100: X230.00000 0.000000 end Row Slack or Surplus Dual price 13360.000 1000000 MILK0.000000 48.00000 TIME0.000000 2.000000 CPCT40.00000 0.000000 20桶牛奶生产A1,30桶生产A2,利润3360元
模型求解 软件实现 LINGO model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 20桶牛奶生产A1 , 30桶生产A2，利润3360元
数学模型 结果解释 model Global optimal solution found max=72*x1+64*x2: Objective value 3360.000 milk x1+x2<50; Total solver iterations 2 time ariableⅤalue Reduced cost 12*x1+8*x2<480; X120.00000 0.000000 cpc3*x1<100; Ⅹ230.00000 0.000000 end Row Slack or Surplus Dual Price 13360.000 1.000000 原料无剩余←MILK0.0000 48.00000 种时间无剩余←TIME 0.000000 2.000000 资加工能力剩余40←CPCT4.00 0.000000 源 “资源”剩余为零的约束为紧约束(有效约束)
结果解释 Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end 三 种 资 源 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束） 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40
数学模型 Global optimal solution found 结果解释 Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2最优解下“资源”增加 Variable value leduced Cost1单位时“效益”的增 X120.00000 0.000000 量 X230.00000 0.000000 Row Slack or Surplus dual Price 影子价格 13360.000 1.000000 MILK004800)料增加1单位利润增长48 TIME0.000002.000时间增加1单位,利润增长2 CPCT40000工能力增长不影响利润 35元可买到1桶牛奶,要买吗?35<48,应该买! 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元?2元!
Global optimal solution found. 结果解释 Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 MILK 0.000000 48.00000 TIME 0.000000 2.000000 CPCT 40.00000 0.000000 最优解下“资源”增加 1单位时“效益”的增 量 影子价格 • 35元可买到1桶牛奶，要买吗? 35 <48, 应该买！ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！ 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润