S3欧拉积分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数一一 Γ函数和B函数. 一、Γ函数 二、B函数 三、Γ函数与B函数之间的关系 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §3 欧 拉 积 分 在本节中我们将讨论由含参量反常积分 定义的两个很重要的非初等函数 —— 一、 函数 二、 B 函数 返回 函数和 函数. 三、 函数与 B 函数之间的关系
T函数 含参量积分: T(s)= xe dx, s>0, (1) 称为格马函数 r函数可以写成如下两个积分之和 r(s)=Lx'e dx+ x e dx=l(s)+J(s) 其中I(s)当s≥1时是正常积分,当0<s<1时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得); 前页)后页)返回
前页 后页 返回 一． 函 数 含参量积分： + − − = 1 0 ( ) e d , 0 , (1) s x s x x s 称为格马函数. 函数可以写成如下两个积分之和： + − − − − = + = + 1 1 1 0 1 ( ) e d e d ( ) ( ) , s x s x s x x x x I s J s 其中 I s s ( ) 1 当 时是正常积分,当 0 1 s 时是收敛 的无界函数反常积分(可用柯西判别法推得);
J()当s≥0时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得)所以含参量积分(1)在s>0时收敛, 即r函数的定义域为s>0 1.r(s)在定义域s>0内连续且有任意阶导数 在任何闭区间,b(a>0)上,对于函数I(s),当 0<x≤1时有xe*x"ex,由于「x"'edr收 敛,从而I(3)在[a,b上也一致收敛,对于J(s),当 前页)后页)返回
前页 后页 返回 J s s ( ) 0 当 时是收敛的无穷限反常积分(也可用柯西 判别法推得). 所以含参量积分(1)在 s 0 时收敛, 即 函数的定义域为 . s 0. 1. ( )s 在定义域 s 0 内连续且有任意阶导数 在任何闭区间 [ , ]( 0) a b a 上, 对于函数 I s( ) , 当 0 1 x 1 1 e e , s x a x x x − − − − 1 1 0 e d a x x x − − 时有 由于 收 敛, 从而 I s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 对于 J s( ) , 当
l≤x0上连续. 用上述相同的方法考察积分 x e dx= xerox 0 as 它在任何区间{a,b(a>0)上一致收敛于是由定理 1910得到r(s)在a,b上可导,由a,b的任意性,r() 前页)后页)返回
前页 后页 返回 s 0 上连续. 用上述相同的方法考察积分 ( ) + + − − − − = 1 1 0 0 e d e ln d . s x s x x x x x x s 它在任何区间 [ , ]( 0) a b a 上一致收敛. 于是由定理 19.10得到 ( )s 在 [ , ] a b 上可导, 由a, b的任意性, ( )s 1 + x 1 1 e e , s x b x x x − − − − 1 1 e d b x x x + − − 时 , 有 由于 收敛,从而 J s( ) 在 [ , ] a b 上也一致收敛, 于是 ( )s 在
在S>0上可导,且 T'(s)=xse Inxdx,S>0. 0 同理可证 rm()=[x-le(nx)dx, s>0,n=2 2.递推公式r(S+1)=I(s) 对下述积分应用分部积分法,有 xe dx=-x'e s-1 +sr e dx 0 A -Aets xe dx 前页)后页)返回
前页 后页 返回 1 0 ( ) e ln d , 0 . s x s x x x s + − − = 同理可证 ( ) 1 0 ( ) e (ln ) d , 0, 2,3, . n s x n s x x x s n + − − = = 2. 递推公式 ( 1) ( ) s s s + = 对下述积分应用分部积分法, 有 1 0 0 0 e d e e d A A A s x s x s x x x x s x x − − − − = − + − − − = − + 1 0 e e d . A s A s x A s x x 在 s 0 上可导, 且
让A→+就得到r(s)的递推公式: T(S+D=sr(S) (3) 设n<S≤n+1,即0<S-n≤1,应用递推公式(3)n次 可以得到 r(S+1)=s(s)=(S-1)(s-1)= s(-1)…(s-n)(s-n) (4) 公式(3还指出,如果已知r(S)在0<s≤1上的值,那 前页)后页)返回
前页 后页 返回 让 A → + 就得到 ( )s 的递推公式: ( 1) ( ) . (3) s s s + = 设 n s n s n + − 1 , 0 1 , 即 应用递推公式(3) n次 可以得到 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) s s s s s s + = = − − = = − − − s s s n s n ( 1) ( ) ( ) . (4) 公式(3)还指出, 如果已知 ( )s 在 0 1 s 上的值, 那
么在其他范围内的函数值可由它计算出来 若为正整数n+1,则(4)式可写成 + r(n+1)=mn-1)21m(1)=m!ex=n.(5) 3.T函数图象的讨论 对一切>0,r(S)和r“(S)恒大于0,因此r(s)的图形 位于x轴上方,且是向下凸的.因为r(1)=r(2)=1, 所以r(s)在s>0上存在唯一的极小点x1且x0∈(1,2) 前页)后页)返回
前页 后页 返回 么在其他范围内的函数值可由它计算出来. 若s为正整数n+1,则(4)式可写成 0 ( 1) ( 1) 2 1 (1) ! e d ! . (5) x n n n n x n + − + = − = = 3. 函数图象的讨论 对一切 s 0 , ( ) ( ) s s 和 恒大于0, 因此 ( )s 的图形 位于 x 轴上方, 且是向下凸的. 因为 (1) (2) 1 = = ， 所以 ( )s 在 s 0 上存在唯一的极小点 x x 0 0 且 ， (1 2)
又r(s)在(0,x)内严格减;在(xn,+∞)内严格增 由于r(s) sr(S)T(S+1) (>0)及 imr(S+1)=r()=1, 0 故有 limr(s=lim r(S+1) =+Q。 0 由5式及r(S)在(x,+0)上严格增可推得 lim r(s=+oo s→+0 前页)后页)返回
前页 后页 返回 0 lim ( 1) (1) 1 , s s → + + = = 故有 0 0 ( 1) lim ( ) lim . s s s s s → → + + + = = + ( )s 0 由(5)式及 在 ( , ) x + 上严格增可推得 ( )s 0 (0, ) x 0 又 在 内严格减;在 ( , ) x + 内严格增. 由于 ( ) ( 1) ( ) ( 0) s s s s s s s + = = 及 lim ( ) . s s →+ = +
综上所述,函数的图象如图192中>0部分所示 4.延拓r(s) 改写递推公式(3)为 S+ r(s)= 当-1<s<0时,(6式右端有意义,于是可应用(6式 来定义左端函数r(s)在(-1,0)内的值,并且可推知 这时r(s)<0. 前页)后页)返回
前页 后页 返回 综上所述, 函数的图象如图19-2中 s 0 部分所示. 4. 延拓 ( )s 改写递推公式 (3) 为 + = ( 1) ( ) . (6) s s s 当 − 1 0 s 时, (6)式右端有意义, 于是可应用(6)式 来定义左端函数 ( )s 在 ( 1, 0) − 内的值,并且可推知 这时 ( ) 0 . s
用同样的方法,利用 T(r) r()已在(-1,0)内有 定义这一事实,由(6) 234x 式又可定义r(s)在 (-2,-1)内的值,而且 这时r(s)>0.依此 图19-2 下去可把r(S)延拓到整个数轴(除了S=0,-1,-2, 以外),其图象如图192所示 前页)后页)返回
前页 后页 返回 图19 2 − −1 x ( ) x −4 −3 −2 1 2 3 4 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 用同样的方法, 利用 式又可定义 ( )s 在 ( 2, 1) − − 内的值, 而且 这时 ( ) 0 . s 依此 下去可把 ( )s 延拓到整个数轴(除了 s = − − 0, 1, 2, 以外),其图象如图19-2所示. ( )s 已在 ( 1 ,0) − 内有 定义这一事实, 由(6)