《高等数学》课程PPT教学资源（章节讲解）一般周期函数的傅立叶级数

第八节 第十二章 一般周期的数的傳里叶級飘 周期为2l的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式

第八节 一般周期的函数的傅里叶级数 一、周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式 第十二章

周期为2l的周期函数的傅里叶级数 周期为2/的函数f(x) 变量代换 周期为2π的函数F(z) 将F(x)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式

一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 周期为 2l 的函数 f (x) 周期为 2 的函数 F(z) 变量代换 l x z   将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式

定理.设周期为2的周期函数f(x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=0+∑ nox nTx a COS +b sin (在f(x)的连续点处) 其中 /()sI

狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2) 在一个周期内只有有限个严格极值点 an  x l n x f x l b l l n ( )sin d 1    l 1 x l n x f x l l ( ) cos d   (n  0,1, 2,) (n 1, 2,) 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶级数展开式为               1 0 cos sin 2 ( ) n n n l n x b l n x a a f x (在 f (x) 的连续点处) 其中 定理

证明:令 几x 刂x∈[变成∈元,元 令F(=)=f(x)=f(),则 T F(x+2)=f( (+2兀 =f(-+2 T f(-)=F(=) 所以F(是以2π为周期的周期函数,且它满足收敛定 理条件,将它展成傅里叶级数 F()=0+ ∑(a 2 n-7, cosn2 +b sin nz (在P(2)的连续点处)

证明: 令 l x z   , 则 x [l , l ] z [,  ], 令 F(z)  ( ) ,   lz f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) (       l z F z f ( 2l ) lz f    ( )   lz f  F(z) 所以F(z) 且它满足收敛定 理条件, 将它展成傅里叶级数:        1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nz b nz a F z ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以2 为周期的周期函数

n=LF(2) coned2(n=0,1,2,) T 其中 T F(3)sin nz dz (n=1,2,3,…) J一 IL X nTX f( XCOS dx(n=0,1,2,…) n Tx n=71 xsIn dx(n=1,2,3,…) 00x ∑( nTx +b sin 2 (在f(x)的连续点处)证毕

a F z nz z n ( ) cos d 1      其中 b F z nz z n ( )sin d 1      令 l x z   l an 1  x l n x f x l b l l n ( )sin d 1      l n x b l n x a a f x n n n         cos sin 2 ( ) 1 0 (n  0,1, 2,) (n 1, 2, 3,) (n  0,1, 2,) (n 1, 2, 3,) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d   证毕

说明:如果f(x).为奇函数,则有 (x)=∑smn"x(在/()的连续点处) 2 rl nx 其中b/0 f(x)sin-,-dx(n=1,2,…) 如果f(x)为偶函数,则有 (x)=0+∑acsx(在/()的连续点处) 其中2 nnx f( X)COS dx(n=0,1,2,…) 注:无论哪种情况,在∫(x)的间断点x处,傅里叶级数 都收敛于f(x)+f(x+)

说明:     1 ( ) n n f x b ( )sin d ( 1, 2,)    x n l n x b f x 其中 n (在 f (x) 的连续点处) l n x sin l 2 0 l 如果 f (x) 为偶函数, 则有   (在 f (x) 的连续点处) 2 ( ) 0 a f x ( ) cos d (  0,1, 2,)    x n l n x a f x 其中 n   n1 n a l n x cos 注: 无论哪种情况 , [ ( ) ( )]. 2 1   f x  f x 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 都收敛于 l 2 0 l 如果 f (x) 为奇函数, 则有

例.交流电压E()= Esino经半波整流后负压消 失,试求半波整流函数的 傅里叶级数 解:这个半波整流函数 的周期是,它在上的表达式为 ≤t<0 f(t) Esino t,0≤t<x an=oo Esino t cosnotdt Eo o [sin(n+1)o t-sin(n-Do t]dt

f (t) O t          π 0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t 例1. 交流电压 E(t)  E sin t 经半波整流后负压消 失,试求半波整流函数的 解: 这个半波整流函数  2 π ,它在 f (t)  an      π 0 E sin t cos n t d t E sin t , 0 , 傅里叶级数. [ , ] π π    上的表达式为 0 π    t   π 0  t  2 π E  的周期是 π  2 2   π  π  π 

Eo Eo COS 20t o=0 1-2元0 o sin 2o tdt 2丌20 0 n≠时 Eort an 27 o Sin(n+lot-sin(n-Do tdt Eo cos(n+D)ot+ cos(n-Dot 2TL(n+1) 0 (-1)2-1-1 n=2k+3 2E (k=0,1,…) n=2k (1-4k2)

0 π   0   π 0 sin 2 t d t 2 π 1 E a          t E    cos 2 2 1 2 π n  1时          π 0 sin(n 1) t sin(n 1) t d t   2 E an       n t n   cos( 1) ( 1) 1    2 π E 0 π      n t n   cos( 1) ( 1) 1                1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 2π 1 n n n n E n n   ( 1) π ( 1) 1 2 1     n E n  0 , n  2k  3 , (1 4 ) π 2 2 k E  ( k  0,1,) n  2k

bn O「 O Esinot sinnott T EOrol cos(n-Dot-cos(n+1)otdr 2丌0 b1=o Esinot sin tdt EOrt Eol sin 2ot E (1-c0s20t)dt= 210 2丌 20 2 0 n>1时 Eol sin(n-1)ot sin(n+1)ot 2T(n-1)o(n+1)o

b Esin t sin t d t π π 0 1         n t n t t E cos( 1) cos( 1) d 2π π 0                   ( 1) sin( 1) 2π n E n t bn 0 ( 1) sin( 1) 0 π           n n t b E t n t t n sin sin d π π 0        t t E (1 cos2 )d 2π 0        0 π 2 sin 2 2π             t t E 2 E  n > 1 时

由于半波整流函数f(t) 在(-0+0)上连续由收 收敛定理可得 EE 2E f(t)=+sino+ ∑ cos 2ko t 丌2 I k=1-4k 交流部分 00<t<+00 直流部分 说明:上述级数可分解为直流部分与交流部分的和 2k次谐波的振幅为2Ek越大振幅越小 兀4k2-1 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f(x)了

由于半波整流函数 f ( t ) 在(,  )上连续,   π ( ) E f t t  E sin 2 k t k E k cos 2  1 4 1 π 2 1  2    ( t  ) 直流部分 说明: 交流部分 由收 收敛定理可得 2 k 次谐波的振幅为 , 4 1 1 π 2 2   k E Ak k 越大振幅越小, 因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了. 上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. f (t) 2 O 2 t   π  π  π 