§4具有某些特性的函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性 有界函数 单调函数 三、奇函数与偶函数 四、周期函数 前页)后页)(回
前页 后页 返回 §4 具有某些特性的函数 一、有界函数 本节将着重讨论函数的有界性、单 调性、奇偶性与周期性. 四、周期函数 三、奇函数与偶函数 二、单调函数 返回
、有界函数 定义1设∫定义在D上 若M∈R,x∈D,∫(x)≤M,则称∫在D上有上界; 若丑L∈R,Wx∈D,f(x)≥L,则称f在D上有下界; 若M∈R,vx∈Df(x)≤M,则称f在D上有界 易证∫在D上有界台∫在D上既有上界又有下界 若vM∈R,彐x0∈D,f(x)>M,则称∫在D上无上 界; 前页】后页)返回
前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界； M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界； L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界 M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上 M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；
若vL∈R,王xED,f(x)M,则称∫在D上无界 例1求证:∫(x)=tnx在0,)上无上界,有下界 证L=0,则x∈0,),f(x)≥L,因此∫在 10,)上有下界.MM∈R,令x0= arctan(M+1, 2 则x0∈[0,) 且tanx=M+1>M,因此∫在 10,)上无上界 前页】后页)返回
前页 后页 返回 若 则称 在 上无界 M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 求证 f x x = 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界 = + M x M R, arctan( 1), 令 0 π [0, ) . 2 上无上界 π 0 [0, ), ( ) , 2 证 L x f x L = ，则 因此 f 在 0 0 π [0, ), tan 1 , 2 则 x x M M = + 且 因此 f 在 若 L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；
例2设函数f(x)2g(x)是D上的正值有界函数 求证:sup{f(x)g(x)}≤sup{f(x)sup{g(x r∈D x∈D x∈D 证Vx∈D,∫(x)≤sup{f(x)}, g(x)ssupg(x), 因此∫(x)g(x)≤sup{f(x)}sup{g(x)}, 由x的任意性,可知sup{f(x)}sup{g(x)} 是{f(x)g(x)一个上界 因此sup{f(x)g(x)≤sup{f(x)}sup{g(x) x∈D r∈D ∈D 前页】后页)返回
前页 后页 返回 g(x) sup{g(x)}, 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )}, 由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此 证 x D f x f x , ( ) sup{ ( )}, : sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 求证 例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数
例3设f(x),g(x)在D上有界证明: infff(x)+g(xsinfff(x)+supg(x) r∈D r∈D x∈D 证VE>0,3x0∈D,f(x)<inf{f(x)+E r∈D 又g(xn)≤sup{g(x)},故 x∈D f(o)+gxo)<inff(x)+supg(x))+8 x∈D 因此 inf{(x)+g(x)≤∫(x0)+g(x) ≤inf{f(x)}+sup{g(x) r∈D r∈D 前页】后页)返回
前页 后页 返回 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x + + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D x D f x f x + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x 又 故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x + + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x + + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x +
二、单调函数 定义2设∫是定义在D上的函数 若vx,x2∈D,当x1f(x2)时称∫为严格减函数. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 二、单调函数 1 2 1 2 若 x x D x x , , , 当 时 (i) ( ) ( ), 有 f x f x f D 1 2 则称 为 上的增函数; 特别有 f x f x f ( ) ( ) , . 1 2 时 称 为严格增函数 (ii) ( ) ( ), 有 f x f x f D 1 2 则称 为 上的减函数; 特别有 f x f x f ( ) ( ) , . 1 2 时 称 为严格减函数 定义2 设 f 是定义在 D上的函数
不难知道,若∫(x)和g(x)是正值严格增的,则 ∫(x)g(x)也是正值严格增的. 例4任意n∈N,2n=x2在R上严格增; =x2在R上严格增,在R_上严格减 证由1=x在R上为正值严格增,可知y2=y 在R上亦正值严格增.由归纳法,若已证yn在R 上为正值严格增,可知yn1=nyn在R上亦正值 严格增. 前页】后页)返回
前页 后页 返回 证 由 y x y y y 1 + 2 1 1 = = 在 R 上为正值严格增,可知 不难知道,若 f x g x ( ) ( ) 和 是正值严格增的,则 f x g x ( ) ( ) 也是正值严格增的. 例4 2 1 N , R 2 1 n n y x n − 任意 = + − 在 上严格增; 2 2 + R R n n y x 在 上严格增,在 上严格减. = − 上为正值严格增,可知 y y y n n +1 1 + = 在 R 上亦正值 在 R+ 上亦正值严格增. 由归纳法,若已证 n R+ y 在 严格增
若xx2n1.这就证明了y2在R 上严格减而y2n在R上严格增 若x≤0<x2或x1<0≤x2,则 x≤0<x2或x2n<0≤x2 2n-1 这证明了y2n在R上严格增 ● 前页】后页)返回
前页 后页 返回 1 2 2 1 若 x x x x − − 0, 0 , 则 于是 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) , n n n n x x x x − − − − − − 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , R n n n n n 即 x x x x y .这就证明了 在 − − − 上严格减,而 y2 1 n 在 R 上严格增. − − 1 2 1 2 若 x x x x 0 0 , 或 则 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 0 n n n n x x x x − − − − 或 ， 这证明了 y2 1 n− 在 R 上严格增
例5易证函数y=[x在R上是增函数,但非严格 增 2 2-10 234x 前页】后页)返回
前页 后页 返回 例5 易证函数 y x = [ ] R , 在 上是增函数 但非严格 增. x y O 1 1 −1 −1 2 2 −2 −2 3 4 3
定理12设y=∫(x),x∈D为严格增函数,则∫必 有反函数f,且∫在其定义域∫(D)上也是严格 增函数. 类似地,严格减函数∫必有反函数∫,且f在其 定义域上也是严格减函数 证设∫在D上严格增,则y∈∫(D)只有一个 x∈D,使f(x)=y 事实上,若彐x1<x2,使f(x1)=y=f(x2,则与∫ 前页】后页)返回
前页 后页 返回 有反函数 f −1 ,且 f −1在其定义域 f (D)上也是严格 增函数. 定理1.2 设 y f x x D f = ( ), , 为严格增函数 则 必 1 1 , , f f f 类似地 严格减函数 必有反函数 − − 且 在其 定义域上也是严格减函数. x D f x y = , ( ) . 使 证 设 f D y f D 在 上严格增, ( ) 则 只有一个 1 2 1 2 事实上,若 使 = = x x f x y f x , ( ) ( ), 则与 f