北京师范大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 连续函数（主讲：郇中丹）

第五章连续函数 郇中丹 2006-2007学年第一学期

1 第五章 连续函数 郇中丹 2006-2007学年第一学期

基本内容 §1函数在一点的连续性 §2初等函数的连续性 §3重要函数极限 s4在集合上连续的函数 §5闭区间上连续函数的性质 §6 致连续性 §7闭集和开集及紧性的概念

2 基本内容 • §1 函数在一点的连续性 • §2 初等函数的连续性 • §3 重要函数极限 • §4 在集合上连续的函数 • §5 闭区间上连续函数的性质 • §6 一致连续性 • §7 闭集和开集及紧性的概念

§1数在一点的连续性 函数在一点连续的定义 函数在一点的左连续和右连续 函数在一点连续的性质 连续函数例子

3 §1.函数在一点的连续性 • 函数在一点连续的定义 • 函数在一点的左连续和右连续 • 函数在一点连续的性质 • 连续函数例子

函数在一点连续的定义 定义:设IcR为区间,fⅠ→>R说f在x∈Ⅰ处连续,如 果∨8>0,36=6(8)>0,∨x∈I|x-xox0 (3)(x)=(x)+0C(x(x)→xx) (4)vE>06>0,f(0(x6-6,x+0)c((x)-6,f(x)+E)

4 函数在一点连续的定义 • 定义:设IR为区间,: I→R.说在x0I处连续, 如 果e>0,d=d(e)>0,xI:|x-x0|<d,|(x)-(x0)|<e. • 在一点连续的等价说法: (4) 0, 0, ( ( , )) ( ( ) , ( ) ) (3) ( ) ( ) ( ), ( ) 0( ) (1) lim ( ) ( ); (2) lim ( ) lim ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e d d d e e       − +  − + = + → →       = = → → → f I x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x x x x x x 

函数在一点的左连续和右连续 左连续和右连续:设f:IR,X∈不是端点如果 f(*o)=lim f(x)=f(xo ); x→>x 就说f在x处右连续;如果 f(o=lim f(x)=f(o) x→>x0 就说f在x处左连续.f(x)和f(x)分别叫做在xo 处的右极限和左极限 命题设fI-R,X∈I则在x处连续当且仅当 (1)x不是端点时,f在x处左右都连续;(2)x为左 (右端点时,在x处右(左)都连续#

5 函数在一点的左连续和右连续 • 左连续和右连续: 设: I→R, x0I不是端点. 如果 就说在x0处右连续；如果 就说在x0处左连续. 和 分别叫做在x0 处的右极限和左极限. • 命题: 设: I→R, x0I. 则在x0处连续当且仅当: (1) x0不是端点时,在x0处左右都连续; (2) x0为左 (右)端点时, 在x0处右(左)都连续.# ( ) lim ( ) ( ); 0 0 0 f x f x f x x x = = → + + ( ) lim ( ) ( ); 0 0 0 f x f x f x x x = = → − − ( ) 0 + f x ( ) 0 − f x

函数在一点连续的性质 设fg:I->R在x∈处连续,c,d∈R 算术性质:cf+dg,fg,和fg(若g(x)≠0在x处连 续 复合性质:若函数u在f(xo)处连续则h=u在x处 连续 保号性:若f(x)≠:0,则彐8>0,Vx∈l(x-6,X0+8) f(x)f(X)>0 有界性:3C>0,δ>0,Vx∈l(x-6,x+6)f(x)≤C

6 函数在一点连续的性质 • 设,g: I→R在x0I处连续, c,dR. 则 • 算术性质: c+dg,g, 和/g (若g(x0)0)在x0处连 续; • 复合性质: 若函数u在(x0)处连续,则h=u在x0处 连续; • 保号性: 若(x0)0, 则d>0, xI(x0−d,x0+d), (x) (x0)>0 • 有界性: C>0,  d>0,xI(x0−d,x0+d),|(x)|C

连续函数例子 1.常值函数f(x)=c是连续的; 2.恒等函数f(x)x是连续的 3.多项式函数P(x)=Σax~k是连续的; 4.有理函数f(x)=P(x)Q(x)在Q(x)≠0处(自然定义 域上)是连续的,其中P(x)和Q(x)是多项式;(3和4 是连续函数性质的推论) 5.n根函数f(x)x^(1/m}在其定义域上是连续的; ·6.整数部分函数f(x)=x]在非整数点连续的,宰 整数点右连续但不左连续;

7 连续函数例子 • 1. 常值函数(x)=c是连续的; • 2. 恒等函数(x)=x是连续的; • 3. 多项式函数P(x)=Sakx^k是连续的; • 4. 有理函数(x)=P(x)/Q(x)在Q(x)0处(自然定义 域上)是连续的,其中P(x)和Q(x)是多项式; (3和4 是连续函数性质的推论) • 5. n根函数(x)=x^{1/n}在其定义域上是连续的; • 6. 整数部分函数(x)=[x]在非整数点连续的, 宰 整数点右连续但不左连续;

书上62页的例子 设f在闭区间[a,b]的每个点连续则函数 F(x)=2f(n)-f(x)2c a<nsx <n≤x 在闭区间[a,b]的每个点同样连续其中n为整数 讨论:(1)通过讨论在整数点的左右极限 (2)注意r(x)=∑(f)-/(x) n=la 当求和下限大于上限时,约定和式为零.#

8 书上62页的例子 • 设在闭区间[a,b]的每个点连续. 则函数 在闭区间[a,b]的每个点同样连续. 其中n为整数. • 讨论: (1) 通过讨论在整数点的左右极限. • (2) 注意 • 当求和下限大于上限时, 约定和式为零. #       = − a n x n a n x n F(x) c f (n) f (x) c  ( ) = + = − [ ] [ ] 1 ( ) ( ) ( ) x n a n F x c f n f x

习题十一( 1.设/R→R,X∈R证明:f(x)>l(x>xo)当且仅 当f(x)-(x-→x0+)和f(x)-/(x→>x0 2设/R→R讨论函数g(x)=(x])的连续性 3.讨论下列函数的连续性 若x为有理数 (1)fx)=x-[x(2)f(x) (3)D(x) x x 0若x为无理数

9 习题十一 (I) • 1. 设: R→R, x0R. 证明: (x)→l(x→x0)当且仅 当(x)→l(x→x0+)和(x)→l(x→x0-). • 2. 设:R→R. 讨论函数g(x)=([x])的连续性. • 3. 讨论下列函数的连续性:    =       = = − 若 为无理数 若 为有理数 x x D x x x f(x) x - x f x 0 1 (3) ( ) 1 1 (1) [ ]; (2) ( )

习题十一(I 4.计算下列极限: )imnx+√x+√x-x:(2)lmnx2+x-x X→)+00 X→)+ lim (5)im x x→+1 x x-x+3 5.设f和g是定义在(a+∞)的函数假设f和g在任 何有界区间(ab)上都有界∨x>y>a,g(x)>g(y)且 g(x))+∞(x)+∞)证明: f(x)_1f(x+1)-f(x) x10g(x)x+g(x+1)-g(x)

10 习题十一 (II) • 4. 计算下列极限： • 5. 设和g是定义在(a,+)的函数.假设和g在任 何有界区间(a,b)上都有界, x>y>a, g(x)>g(y)且 g(x)→+ (x→+). 证明： ( ) . 3 [ ] 1 ; (5) lim 1 [ ] 1 ;(4) lim 1 (3) lim (1) lim ; (2) lim ; x 1 2 2 x 0 x 1 2 x x + + − −        + −      + + − → + → + → − →+ →+ x x x x x x x x x x x x x ( 1) ( ) ( 1) ( ) lim ( ) ( ) (1) lim x x g x g x f x f x g x f x + − + − = →+ →+