GAODENGSHUXUE DIANZHIAOAN O 第六节多元函数的极值 、多元函数的极值 二、多元函数的最大值 与最小值 三、条件极值
第六节 多元函数的极值 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值 与最小值 三、条件极值
多元函数的极值 定义107设函数=(xy)在点x的某一邻域内有定 义,如果在该邻域内任何点(x)的函数值恒有 f(xy)≤f(x0y)(或(xy)2/(x03o) 则称点(x0b为函数的极大值点(或极小值点)(x03)为 极大值(或极小值),极大值和极小值统称为极值极大 值点和极小值点统称为极值点 上页 下下页
一、多元函数的极值 定义10.7 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内有定 义，如果在该邻域内任何点(x,y)的函数值恒有 f(x,y)≤f(x0 ,y0 ) (或f(x,y)≥f(x0 ,y0 ))， 则称点(x0 ,y0 )为函数的极大值点(或极小值点).f(x0 ,y0 )为 极大值(或极小值)，极大值和极小值统称为极值.极大 值点和极小值点统称为极值点
例1函数f(x,y)=1+x2+2y2,在原点(00)处取得极 小值1因为,对于任何点(xy)(0,0),都有 f(xy)>f(0,0)=1, 这个极小值也是最小值该函数的图形是椭圆抛物面 在曲面上点(0,0,1)的坐标小于曲面上其他点的坐标 上页 下下页
例1 函数 ，在原点(0,0)处取得极 小值1.因为，对于任何点(x,y)≠(0,0)，都有 2 2 f (x, y) =1+ x + 2y f(x,y)>f(0,0)=1, 这个极小值也是最小值.该函数的图形是椭圆抛物面. 在曲面上点(0,0,1)的z坐标小于曲面上其他点的z坐标
例2函数f(xy)=1-x2-2y2,在原点0.0处取得极 大值因为对于任何(xy)≠(0.0),都有 f(xy)<f(0.0)=1 这个函数的图形是椭圆拋物面在曲面上点(001)的坐 标大于曲面上其他点的坐标 上页 下下页
例2 函数 ，在原点(0,0)处取得极 大值1.因为对于任何(x,y)≠(0,0)，都有 f(x,y)<f(0,0)=1 这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点(0,0,1)的z坐 标大于曲面上其他点的z坐标. 2 2 f (x, y) = 1− x − 2y
定理106(极值存在的必要条件)设函数(xy)在点 (x0)取得极值,且在该点的偏导数存在,则必有 fx(x0,y0)=0,f(x0,y)=0 证由于z(xy)在点(x)取得极值,所以当y保持常量 y时,对元函数=(x在点x点也必有极值,根 据元函数极值存在的必要条件,得 f(xo,y0)=0 同理可证f(x2yo)=0 使f(xyn)=0,f(x0,)=0同时成立的点(x0),上页 下下页 称为函数(xy)的驻点
定理10.6 (极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点 (x0 ,y0 )取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有 ( , ) 0, ( , ) 0. f x x0 y0 = f y x0 y0 = 证 由于z=f(x,y)在点(x0 ,y0 )取得极值，所以当y保持常量 y0时，对一元函数z=f(x,y0 )在点x0点也必有极值，根 据一元函数极值存在的必要条件，得 ( , ) 0. f x x0 y0 = 同理可证 ( , ) 0. f y x0 y0 = 使 同时成立的点(x0 ,y0 ), 称为函数f(x,y)的驻点. ( , ) 0, ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 =
注意:驻点不一定是函数的极值点例如,函数 y2,在点(0.0)处的两个偏导数同时为零,即 (0,0)=0,=,(00)=0 容易看出驻点(,0不是函数的极值点 还要注意:极值点也可能不是驻点,因为偏导数 不存在的点也可能是极值点,如锥面z=1-x2+y2的些 顶点(0,0,1),偏导数不存在,但顶点是极值点 上页 页回
容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点. 注意：驻点不一定是函数的极值点.例如，函数 z=x2–y 2，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即 (0,0) = 0, (0,0) = 0. x y z z 还要注意：极值点也可能不是驻点，因为偏导数 不存在的点也可能是极值点，如锥面 的 顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点. 2 2 z =1− x + y
定理107极值的充分条件)设函数=xy)在点(x03o) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数,且(xov是 函数的一个驻点,即f(x,y0)=0,f,(x,y)=0记 A=fx(x,y0.B=f列(x0y)C=f(xoy),则 1)当B2-AC0时,(x03o)为极小值点 f(x03y)为极小值 (2)当B2AC>0时,fx0)不是极值 (3)当B24C=0时,(x03o可能为极值,也可能不是上页 下下页 极值,此法失效
定理10.7(极值的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0 ) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0 ,y0 )是 函数的一个驻点，即 ,记 ，则 ( , ) 0, ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = xy = yy (1) 当B2–AC0时，(x0 ,y0 )为极小值点， f(x0 ,y0 )为极小值. (2) 当B2–AC>0时，f(x0 ,y0 )不是极值. (3) 当B2–AC=0时，f(x0 ,y0 )可能为极值，也可能不是 极值，此法失效
综合定理10.6,定理107,对于具有二阶连续偏导 数的函数=f(xy)求其极值的步骤如下 1求方程组 f(x,y)=0 的一切实数解,得到所有驻点 2求出二阶偏导数f(x,y)f3(x,y)m(x,y),并对每 一驻点,求出二阶偏导数的值A,B,C 3对每一驻点(x0),定出B2AC的符号,按照定理 107的结论判定(x03)是否为极值,是极大值还上页 下下页 是极小值
= = ( , ) 0 ( , ) 0, f x y f x y y x 综合定理10.6，定理10.7，对于具有二阶连续偏导 数的函数z=f(x,y)求其极值的步骤如下： 2.求出二阶偏导数 ，并对每 一驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C. f (x, y), f (x, y), f (x, y) xx xy yy 1.求方程组 的一切实数解，得到所有驻点. 3.对每一驻点(x0 ,y0 )，定出B2–AC的符号，按照定理 10.7的结论判定f(x0 ,y0 )是否为极值，是极大值还 是极小值
例3求函数z=x2-xy+y2-2x+y的极值 x-y 2=0. 解求方程组 x+2y+1=0 的一切实数解,得驻点(1,0) 求函数的二阶偏导数 在(0)点处,有A=2,B=-1,C=2 B2AC=-30, 由极值的充分条件,得(1,0-1为极小值 上页 页回
例3 求函数 的极值. 的一切实数解，得驻点(1,0). 在(1,0)点处，有A=2，B= –1，C=2. B2–AC= –30， 由极值的充分条件，得f(1,0)= –1为极小值. z = x − xy + y − 2x + y 2 2 解 求方程组 = − + + = = − − = 2 1 0 2 2 0, z x y z x y y x 求函数的二阶偏导数 = 2, = −1, = 2. xx xy yy z z z
例4求函数f(xy)=exy(x2-2y2)的极值 解求方程组 (x,y=e(x-2y)+2xe'y=0 f(x,y) (x2-2y2)-4ye2-y=0 的一切实数解,得驻点(0,0),(4,-2) 求函数的二阶偏导数, fr (x, y)=e(x-2y+4x+2) fu(x,y)=e (2y-x-2x-4y) 上页 下下页 fn(x,y)=ey(x2-2y2+8y-4)
例4 求函数 ( , ) e ( 2 ) 的极值. 2 2 f x y x y x y = − − 的一切实数解，得驻点(0,0)，(–4,–2). 解 求方程组 = − − − = = − + = − − − − ( , ) e ( 2 ) 4 e 0 ( , ) e ( 2 ) 2 e 0, 2 2 2 2 x y x y y x y x y x f x y x y y f x y x y x 求函数f的二阶偏导数， ( , ) e ( 2 4 2), 2 2 = − + + − f x y x y x x y xx ( , ) e (2 2 4 ), 2 2 f x y y x x y x y xy = − − − − ( , ) e ( 2 8 4). 2 2 = − + − − f x y x y y x y yy