闽江学院：正交变换与正交矩阵（戴立辉、林大华、林孔容）

正交变换与正交矩阵 m it.Iw 戴立辉林大华林孔容 I s 1ai Ill ri ati 闽江学島 闽江学院数学系,福建福州350108)

正交变换与正交矩阵 戴立辉 林大华 林孔容 (闽江学院数学系，福建 福州 350108 )

摘要介绍正交变换的概念,研究线性变换为正交变 换的等价条件;从矩阵理论的角度,探讨正交矩阵的 常用性质 关鍵词正交变换;正交矩阵;等价条件;性质 、正交变换 定义1.1设A是欧氏空间V的一个线性变换, 若A保持向量的内积不变,即对于任意的a,B∈V 都有(Aa,Aβ)=(x,β),则称A为V的正交变换

摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变 换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的 常用性质. 关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质 一、正交变换 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换, 若A保持向量的内积不变,即对于任意的，V 都有(A，A) = (，)，则称A为V的正交变换

二、等价条件 定理2.1设A是n维欧氏空间V的一个线性变换, 则下列命题等价: 1)A是正交变换; 2)A保持向量的长度不变,即对于a∈V,|Aa|=a; 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基; 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵 证:1)→2)对于α∈V,由(Aa,Aa)=(a,a 即得 Aa=a

二、等价条件 定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换, 则下列命题等价: 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变,即对于V，|A|=||； 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基； 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证：1）2）对于V,由(A，A)=(，), 即得： |A|=||

2)→3)设e1,E2,…,En是V的任一标准正交 基,记+6=∈V 由Aa|=a或(Aa,Aa)=(ax,a)得 (A(+61),A(t+8;)=(8+E;,8+6) 而(A(;+E;),A(s;+,) (Asi, As: )+2(Asi, As )+(As:, 8) (E,E)+2( 18;)+ 8;8 (cn+s;,sn+s;)=(,c)+2(s;,ε;)+(ε;,s) 0.i≠ (A8, A8=( 故A81,A82,…,AEn是V的一组标准正交基

2）3）设1，2，…，n是V的任一标准正交 基,记i+j =V. 由|A|=||或(A，A)=(,)得 (A(i+j)，A(i+j))=(i+j， i+j） 而 (A(i+j)，A(i+j)) =(Ai，Ai)+2(Ai，Aj)+(Aj，j) =(i，i)+2(i，j)+(j，j) (i+j， i+j）=(i，i)+2(i，j)+(j，j) 0, ( , ) ( , ) 1, i j i j i j A A i j        = =   = 故 A1，A2，…，An是V的一组标准正交基

3)→4)设81,E2,…,En,是V的标准正交基, A(1,E2,…,n)=(A,Ae2,…,Acn )A 由3),A61,AE2,…,Acn是V的标准正交基, 故A可看作是由标准正交基81,ε2,…,εn到标 准正交基A1,Ae2,…,AEn的过渡矩阵,A是正 交矩阵

3)4）设1，2，…，n是V的标准正交基, A(1，2，…，n)=(A1，A2，…，An) = (1，2，…，n)A 由3), A1，A2，…，An是V的标准正交基, 故A可看作是由标准正交基1，2，…，n到标 准正交基A1，A2，…，An的过渡矩阵,A是正 交矩阵

4)→1)设81,82,…,εn是V的标准正交基,且A 在此基下的矩阵A为正交矩阵 由(As1,Aa2,…,AEn)=(81,82 En)A,知A,A2,…,Acn也是V的标准正交基, 设a=x181+x282+…,+xn1B=y;E1+y2e2+…,+yEn 则 Aa=x, Ae +.+x As Aβ=y1Ae1+y2A2+…+ynAE (Aa, AB)=Xy1+x2y2+.tx y (a, B)=X,y1+X2y2+.tony 所以(Aα,AB)=(a,β),故A为正交变换

4)1）设1，2，…，n是V的标准正交基,且A 在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由(A1，A2，…，An)= (1， 2，…， n)A,知A1，A2，…，An也是V的标准正交基, 设=x1 1+x2 2+…+xn n,=y1 1+y2 2+…+yn n, 则 A=x1A1+x2A2+…+xnAn A=y1A1+y2A2+…+ynAn (A,A)= x1y1+x2y2+…+xnyn (,)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (A，A)=(，),故A为正交变换

三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义 定义3.1A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为 正交矩阵. 定义3.2A为n阶实矩阵,若AT=E,则称A为 正交矩阵. 定义3.3A为n阶实矩阵,若AT=A-,则称A为 正交矩阵. 定义3.4A为n阶实矩阵,若A的n个行(列) 向量是两两正交的单位向量,则称A为正交矩

三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义. 定义3.1 A为n阶实矩阵,若A TA=E,则称A为 正交矩阵. 定义3.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为 正交矩阵. 定义3.3 A为n阶实矩阵,若A T=A-1 ,则称A为 正交矩阵. 定义3.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行（列） 向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩 阵

性质3.1设为A正交矩阵,则: 1)|A|=±1;2)A可逆,其逆A1也是正交矩阵; 3)AT,A*也是正交矩阵 证:1)由AAT=E,可知A|2=1,或者|A|=±1 对正交矩阵A,当|A|=1时,我们称A为第一类正 交矩阵;当|A=-1时,则称A为第二类正交矩阵 2)由AA=E,可知A可逆,且A-1=A,又 (A-1)T=(AT)T=A=(A-1)+1=E 故A1是正交矩阵 3)由2)知A=A-1,A是正交矩阵 而A*=AA1=±A1,有 (A)T=(土A1)T=士A=(A*)-1, 故A*是正交矩阵

性质3.1 设为A正交矩阵，则： 1）|A|=1；2）A可逆，其逆A -1也是正交矩阵； 3）A T ，A *也是正交矩阵. 证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正 交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A -1=AT ,又 (A-1) T=(AT) T=A=(A-1) -1=E. 故A -1是正交矩阵. 3)由2)知A T=A-1,AT是正交矩阵. 而A *=|A|A-1= A -1 ,有 (A*) T=(A -1) T=A=(A*) -1 , 故A *是正交矩阵

性质3.2设A,B都是正交矩阵,则: 1)AB,A"(m为自然数),ATB,ABT,AB, AB-1,ABA等都是正交矩阵; A0/A A 210B/(A4是正交矩阵 证:1)由AT=A-1,B=B1可知 (AB)T=BTAT=B-IA1=(AB-I 所以AB为正交矩阵,从而再由性质1可推知 A(m为自然数),ATB,ABT,A-B,AB-1,ABA

性质3.2 设A，B都是正交矩阵，则： 1)AB，A m(m为自然数),ATB，ABT ，A -1B， AB-1 ，A -1BA等都是正交矩阵； 证:1)由A T=A-1,BT=B-1可知 (AB)T=BTA T=B-1A -1=(AB)-1 ， 所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知: A m(m为自然数),ATB，ABT ，A -1B，AB-1 ，A -1BA 0 1 2) . 0 2 A A A B A A             − ， 是正交矩阵

等均为正交矩阵 A0)(A0)A0(A0 2)因为 0 B 0B)0B1)(0B 1(A A1/A 及 √2(-44儿12(-44√22(-A4A 1(2440_(E0 202AA)(0E A 0 A A 故\0B丿√2 是正交矩阵 A A

等均为正交矩阵. T 1 T 1 / 1 0 0 0 0 2) 0 0 0 0 A A A A B B B B − − −             = = =             因为 T T T T T T T 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 2 0 2 0 A A A A A A A A A A A A A A A A A A E A A E             −           =         − − −           = =         及 0 1 . 0 2 A A A B A A             − 故 ， 是正交矩阵