吉林大学远科教 大学文槲数学 和八应 业 D火 第二+八研 主讲: 副教授
第二十八讲 主讲：杨荣副教授 吉林大学远程教育
44导数在经济数量分析中的应用 本节简要介绍导数在经济学中的应用。 1.经济学中的几个常用函数 (1)需求函数 市场对某种商品的需求数量受多种因素的制约,比如购买者的收 入多少,商品质量的优劣,以及商品价格的高低等。当一个时期内个 人收入、商品质量等因素保持稳恒状态情况下,市场对某种商品的需 求量Q主要依赖于商品的价格P,于是Q是P的函数,称Q为需求函数, 记作Q=f(P) 常见的需求函数有: 线性函数Q=b-aP 反比例函数Q b P+c
4.4 导数在经济数量分析中的应用 本节简要介绍导数在经济学中的应用。 1. 经济学中的几个常用函数 (1) 需求函数 市场对某种商品的需求数量受多种因素的制约，比如购买者的收 入多少，商品质量的优劣，以及商品价格的高低等。当一个时期内个 人收入、商品质量等因素保持稳恒状态情况下，市场对某种商品的需 求量Q主要依赖于商品的价格 P，于是Q是P的函数，称Q为需求函数， 记作 Q= f (P) . 反比例函数 b P c a Q − + = 常见的需求函数有： 线性函数 Q= b－aP
幂函数 bP2 指数函数Q=Ae le-6p 其中a、b、c,A为正常数。 函数Q=f(P)的反函数 P=f(0)=P(o) 从另一方面反映了价格与商品量之间的关系,因而也称为需求函数。 (2)供给函数 在一定的时期内卖方将某种商品投放市场的供给量Q受多种因素 的制约,如果忽略次要因素,那么商品的价格就是主要因素,这样 供给量Q就是价格P的函数,称Q为供给函数,记作 0=g(P) 常见的供给函数有: 线性函数Q=aP-b
其中a、b、c , A 为正常数。 幂函数 Q= a－bP 2 指数函数 Q= Ae -bP 函数 Q= f (P)的反函数 P= f -1 (Q) = P (Q) 从另一方面反映了价格与商品量之间的关系，因而也称为需求函数。 （2）供给函数 在一定的时期内卖方将某种商品投放市场的供给量Q受多种因素 的制约，如果忽略次要因素，那么商品的价格就是主要因素，这样 供给量Q就是价格P的函数，称Q为供给函数，记作 Q= g (P) 常见的供给函数有： 线性函数 Q= aP － b
幂函数 O=kP 指数函数g=ae 其中a、b、k为正常数。 需求函数与供给函数密切相关。 把需求曲线和供给曲线(供给函数 O-f(P) 的图形)画在同一坐标系中,如图 (P, 0)0=g(P) 214。由于需求函数Q是减少函数, 供给函数Q是增加函数,它们相交 于点(P,⑨)处。P就是供、需平衡 P 图214 的价格,叫均衡价格。⑨就是均衡 数量。 (3)总收益函数 设某种商品的价格为P,销售量为Q,则销售这些商品的总收益
其中a、b、k为正常数。 幂函数 Q= kP a 指数函数 Q= ae bP （3）总收益函数 设某种商品的价格为P，销售量为Q，则销售这些商品的总收益 需求函数与供给函数密切相关。 把需求曲线和供给曲线（供给函数 的图形）画在同一坐标系中，如图 2.14。由于需求函数Q是减少函数， 供给函数Q是增加函数，它们相交 于点 处。 就是供、需平衡 的价格，叫均衡价格。 就是均衡 数量。 (P,Q) P Q 图2.14 Q o P (P,Q) P Q Q= f (P) Q= g (P)
R=oP 因为销售量即买方的需求量Q=f(P),其反函数为P=f(Q),记作 P=P(Q),于是总收益R可以是销售量Q的函数,即R=QP(Q); 也可以是价格P的函数,即P均称为总收益函数 R=f(P)'P 均称为总收益函数。 (4)总成本函数 生产一定数量的商品所需的全部资源投入(劳力、原料、设备等) 的总费用C称为总成本,它是固定成本C1与可变成本C2的总和,一般来 说,固定成本C1与商品量Q无关,而可变成本与商品量Q有关,于是总 成本C为 C=C+C2(2) 称为总成本函数
（4）总成本函数 生产一定数量的商品所需的全部资源投入（劳力、原料、设备等） 的总费用C称为总成本，它是固定成本C1与可变成本C2的总和，一般来 说，固定成本C1与商品量Q无关，而可变成本与商品量Q有关，于是总 成本C为 C= C1＋C2 (Q) R= Q P 因为销售量即买方的需求量Q = f (P)，其反函数为P= f -1 (Q) ，记作 P= P (Q) ，于是总收益R可以是销售量Q的函数，即R = Q P (Q) ； 也可以是价格P 的函数，即P均称为总收益函数。 R= f (P) ·P 均称为总收益函数。 称为总成本函数
例76某商品的需求量和供给量与其价格P有关系式分别为 Q2-20Q-P=-99, 1302+P=123 试求市场平衡的价格和数量。 解求市场平衡的价格和数量,即解方程组 Q2-20Q-P OC 3Q2+P=123 得到Q1=6,R1=15Q2=-1 显然Q2=-1无意义。故所求均衡价格为15个单位,均衡数量 为6个单位 供给函数的反函数,记作P=P(Q 是商品价格与供给量的关系
例76 某商品的需求量和供给量与其价格P有关系式分别为： 试求市场平衡的价格和数量。 + = − − = − 3 123. 20 99, 2 2 Q P Q Q P 解 求市场平衡的价格和数量，即解方程组 + = − − = − 3 123. 20 99, 2 2 Q P Q Q P 得到 6, 15; 1. Q1 = P1 = Q2 = − 显然 无意义。故所求均衡价格为15个单位，均衡数量 为6个单位。 Q2 = −1 供给函数的反函数，记作 P＝ P (Q) 是商品价格与供给量的关系
例77已知某种产品的总成本函数为 C(4)=1000 求当生产100个该商品时的总成本和平均成本 解由题意,求产量为100时的总成本为 c01030001020 所求平均成本 A(100) C(qI 2250 22.5 q=1
例77 已知某种产品的总成本函数为： 求当生产100个该商品时的总成本和平均成本。 , 8 ( ) 1000 2 q C q = + 解 由题意，求产量为100时的总成本为： 100 2 ) 8 (100) (1000 = = + q q C 所求平均成本 8 100 1000 2 = + = 2250, 100 ( ) (100) = = q q C q A 100 2250 = = 22.5
2.边际函数 设函数y=f(x)可导,则导函数f(x)在经济学中称为边际函数, f(x)称为f(x)在x处的边际函数值。 在数学中,比值 △yf(x+△x)-f(x) 表示f(x)在x附近△x 范围内的平均变化率;当∧x→0时,该比值的极限若存在,则它表 △ 示f(x)在x点的变化率。在经济学中,表示某经济量y相对于另 种经济量的平均变化率,其经济学意义是易于理解的,例如某商品 的总收益函数为R=QP(Q),则平均收益R= =P(Q表示该商 品的单价。然而x→>0”的经济学意义应理解为经济量x在x附 近 改变了“介单位是学是[引起改李量△可近似表示为 △x=1 △x=1
设函数 y = f (x)可导，则导函数 在经济学中称为边际函数， 称为 f (x)在 x0处的边际函数值。 f (x) ( ) 0 f x 2. 边际函数 ( ) ( ) 0 1 1 1 y 0 dy 0 f x dx 0 f x x x x x x x x x x = = = = = = = = 在数学中，比值 表示 f (x)在 x0附近△x 范围内的平均变化率；当 时，该比值的极限若存在，则它表 示 f (x)在 x0点的变化率。在经济学中， 表示某经济量y 相对于另 一种经济量的平均变化率，其经济学意义是易于理解的，例如某商品 的总收益函数为R = Q P (Q) ，则平均收益 表示该商 品的单价。然而“ ”的经济学意义应理解为经济量x 在 x0附 近 改变了“一个单位”，于是经济量y所引起的改变量△y可近似表示为 x →0 x f x x f x x y + − = ( ) ( ) 0 0 x y P(Q) Q R = R = x →0
也就是说,边际函数值∫(x)表示经济量改变一个单位时,经 济量y改变了∫"(x)个单位 例78已知某厂生产某种商品的固定成本为C1=1000(元),可 变成本为C2(Q)=2(Q为商品的件数),最大生产能力为100件,求 4 该厂生产50件商品时的总成本C,平均成本C以及边际成本C 解依题意可知,总成本函数 C=C(Q)=C1+C2(Q=1000+ Q∈[0,100 当Q=50时总成本为 C(50)=(1000+ 1625(元) 平均成本为 C(O),1000 50) 325(元) )=50
平均成本为 也就是说，边际函数值 表示经济量改变一个单位时，经 济量 y 改变了 个单位。 ( ) 0 f x ( ) 0 f x 例78 已知某厂生产某种商品的固定成本为C1 =1000（元），可 变成本为C2 (Q) = （Q为商品的件数），最大生产能力为100件，求 该厂生产50件商品时的总成本C，平均成本 以及边际成本 。 4 2 Q C C 解 依题意可知，总成本函数 , [0,100] 4 ( ) ( ) 1000 2 = = 1 + 2 = + Q Q C C Q C C Q 当Q＝50时总成本为 ) 1625( ) 4 (50) (1000 5 0 2 = + = 元 Q= Q C ) 32.5( ) 4 1000 ( ( ) (50) 5 0 = = + = 元 Q= Q Q Q C Q C
边际成本为 C(S0)=(1000+ 5( 2 Q=50 边际成本C(50)=25元表示该厂生产到第50件商品时再多生产一件, 总成本就需增加25元。 例79已知某商品的需求函数为P()=20、Q总成本函数 4 为C(Q)=60+4Q,问产量为多少时总利润L最大?最大利润是多 解因为总利润(Q)等于总收益RQ减去总成本C(Q)之差,而 总收益为 R(Q)=QP(Q,又P(Q=20 故总利润为
边际成本为 25( ) 2 ) 4 (50) (1000 5 0 5 0 2 = + = = 元 Q= Q= Q Q C 边际成本 元表示该厂生产到第50件商品时再多生产一件， 总成本就需增加25元。 C(50) = 25 4 ( ) 20 Q 例79 已知某商品的需求函数为 P Q = − ，总成本函数 为 ，问产量为多少时总利润L最大？最大利润是多 少？ C(Q) = 60 + 4Q 解 因为总利润L(Q)等于总收益R(Q)减去总成本C(Q)之差，而 总收益为 又 ，故总利润为 4 ( ) ( ), ( ) 20 Q R Q = QP Q P Q = −