第一节准 二重积分的概念与性质 引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算
三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质
引例测M人 z=f(r,y) 1曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底:xoy面上的闭区域D 顶:连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面:以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法:类似定积分解决问题的思想 大化小,常代变,近似和,求极限
解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D
1)大化小 用任意曲线网分D为n个区烯 z=f(,y) AOi12△G2,…AOn 以它们为底把曲项柱体分为n个f(k 小曲顶柱体 2,3常代姿46 D M∞0 k2k 在每个△k中任取一点(k,k),则 △k≈∫(5k,mk)AOk(k=1,2,…,n) 4)“近似和” ∑Ak≈∑f(5k,m)△k k=1 k=1
D 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 n , , , 1 2 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2,3)“常代变” 在每个 4)“近似和” = n k k k k f 1 ( , ) ( , ) k k f V f ( , ) (k 1,2, ,n) k k k k = 中任取一点 则 小曲顶柱体 k ( , ) k k
5)“取极限” 2→>0≥M→ 定义△a的直径为 (△ak)=max{PP2|B2∈△ak} 令=max{(△Ok) <ksn z=f(r, y) V=imn∑f(5k,mk)△Gk k k Sk,lk
5)“取极限” ( k ) = max P1P2 P1 ,P2 k 令 max ( ) 1 k k n = = → = n k k k k V f 1 0 lim ( , ) ( , ) k k f k ( , ) k k
2.平面薄片的质量 有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,其面密 度为(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若(x,y)≡(常数,设D的面积为a,则 若(x,y)非常数,仍可用 D 大化小,常代变近似和,求极限 解决. 1)大化小 用任意曲线网分D为n个小区域△1A02,…,AOn 相应把薄片也分为小区域
2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M = 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , , 1 2 n 相应把薄片也分为小区域 . D y x
2)“常代变” 在每个Aa中任取一点(5k,)则第k小块的质量 △Mk≈(k,k)AGk(k=1,2,…,n) 3)近似和” M=∑Mk≈∑(5k,mk)△k k=1 k=1 4)取极限” x 令A=max{4(△)} (5k2k)△k 10
2)“常代变” 在每个 k 中任取一点 ( , ), k k 3)“近似和” = n k k k k 1 ( , ) 4)“取极限” max ( ) 1 k k n = 令 → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) k ( , ) k k 则第 k 小块的质量 y x
两个问题的共性 (1)解决问题的步骤相同 大化小,常代变,近似和取极限 (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积 V=im∑/(5k,k)△Gk 1→>0 k=1 平面薄片的质量 204(51C M=lim k
两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” = → = n k k k k V f 1 0 lim ( , ) → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:
二、二重积分的定义及可积性XS24x6 定义:设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数, 将区城D任意分成n个小区域△k(k=1,2,…,m) 任取一点(k,7k)∈△ak,若存在一个常数I,使 ∑/(5,n)A 记作 -)0 ∫(x,ydc k=1 则称f(xy)可积称/为/(xy在D上的二重积分 分号 积分和 f(x, y)d 积分表达式 x,y称为积分变量 积分域「被积函数面积元素椒
二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数
如果f(x,y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划 分区城D,这时△ak=△v4,因此面积元素da也常 记作d二重积分记作 g98yd=∫D(xy)drdy 引例1中曲顶柱体体积 ∫/(xdG=J(eyx 引例中平面薄板的质量: u(x,y)do=luc u(x, y)dx d
= D V f (x, y)d 引例1中曲顶柱体体积: = D M (x, y)d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f (x, y) 在D上可积, 也常 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 = D f (x, y)d x d y = D (x, y)d x d y
二重积分存在定理:0裕 若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续, 则f(x,y)在D上可积业取料体,法‰D吹为准 重积分的几何意义:打轴,现为呶 2=x 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值 因此,二重积分是在这些部分区域上的曲顶柱体 体积的代数和方正,下方为负 A Ax)dx
若函数 f (x, y)在有界闭区域 D 上连续， 则 f (x, y)在 D 上可积. 二重积分存在定理： 二重积分的几何意义： 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值． 因此，二重积分是在这些部分区域上的曲顶柱体 体积的代数和．