第七节极限运算法则 极限运算法则 ●二、求极限方法举例
第七节 极限运算法则 一、极限运算法则 二、求极限方法举例
极限运算法则 定理设limf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lim∫(x)±g(x)=A±B; (2)limf(x)·g(x)=A·B; (3)lim f(x) A ,其中B≠0 g(x) B 证∵Iimf(x)=A,img(x)=B f(x)=A+a,g(x)=B+β.其中α→>0,B→0 由无穷小运算法则得
一、极限运算法则 定理 lim ( ) ,lim ( ) , (1) lim[ ( ) ( )] ; (2) lim[ ( ) ( )] ; ( ) (3) lim , 0 ( ) . f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x A B g x B = = = = = 设 则 其中 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
f(x)±g(x)-(A±B)=±β→0.:(1)成立 If(x)·g(x)-(A·B)=(A+)(B+β)-AB =(4B+B0)+β→0 (2)成立 f(x)AA+aa Ba-AB B0-Aβ→0 g(x)BB+βBB(B+β) 又:B→0,B≠0,彐8>0,当0B B 2
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
B(B+B)>B2,故1 B(B+B)B2有界, (3)成立 推论1如果lim(x)存在,而c为常数,则 lim(cf(x)1=climf(x) 常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果imn(x)存在,而n是正整数则 lim[f(x)]=[imf(x)
推论1 limf(x) , c , lim[cf(x)] = climf(x). 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. n n limf(x) , n , lim[f(x)] = [limf(x)] . 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
二、求极限方法举例 例1求lmx-3x+5 解∵lim(x2-3x+5)=imx2-lim3x+im5 2 2 →2 (lim x)-3limx+lim5 →2 x→2 22-3.2+5=3≠0, limx-liml x→2 23-17 2x-3x+5 lim(x 2 3x+5)33 x→2
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =
小结:1.设f(x)=a0x”+a1xn1+…+an,则有 imf(x)=a0(imx)”+a1(limx)+…+an x→0 n n-1 0~0 十a1x 1~0 +…+an=f(x0) 2设∫(x) P(x),且Q(x0)≠0,则有 e(r) lim P(x) P(xo) x→x lim∫(x)= =∫(x0) x→x lim e(x) o(no) x→X 若Q(x0)=0,则商的法则不能应用
小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用
例2求lm x→1y2+2x-3 解lim(x2+2x-3)=0,商的法则不能用 又∴lim(4x-1)=3≠0, mnx2+2x-30 由无穷小与无穷大的关系,得 im.2 x1x2+2x-3
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x
例3求m,2+2x-3 解x→时,分子,分母的极限都是零(型) 先约去不为零的无穷小因子x-1后再求极限 x1x2+2x-3lim(x+1)(x-1 m x少1(x+3)(x-1) x+11 m (消去零因子法) x→1x+32
解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)
2x3+3x 2 +5 例4求lm x→0 7x+4x2-1 解x→∞时,分子,分母的极限都是无穷大—型) 先用x3去除分子分母分出无穷小再求极限 35 2+-+ 2x3+3x2+5 lim r x m x→7x3+4x2-1 7+ (无穷小因子分出法)
例4 . 7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 求 解 x → 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 ) , , . 先用x 3去除分子分母分出无穷小再求极限 3 3 3 2 3 2 4 1 7 3 5 2 lim 7 4 1 2 3 5 lim x x x x x x x x x x + − + + = + − + + → → . 7 2 = (无穷小因子分出法)
小结当a0≠0,b≠0,m和n为非负整数时有 ao,当n=m, n xtax lim 0 m={0,当n>m, bnxn+b,xn-1+…+b 当 n< 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限
小结: 当a0 0,b0 0,m和n为非负整数时有 = = + + + + + + − − → , , 0, , , , lim 0 0 1 0 1 1 0 1 n m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当 当 当 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限