第一章函数、极限与连续 习题课 主要内容 二、典型例题
第一章 函数、极限与连续 习题课 一、主要内容 二、典型例题
主要内容 (一)函数的定义 (二)极限的概念 (三)连续的概念
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念 一、主要内容
基本初等函数 函数函数 的定义 的性质 复合函数 单值与多值 奇偶性 初等函数反函数‖隐函数 单调性 有界性 双曲函数与反函数与直接 周期性 反双曲函数函数之间关系
函 数 的定义 反函数 隐函数 反函数与直接 函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性 双曲函数与 反双曲函数
1、函数的定义 定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数 集.如果对于每个数x∈D,变量y按照一定法 则总有确定的数值和窗对应,则称y是x的函数, 记作y=∫(x) 数集D叫做这个函数的定义域,x叫做自变量, y叫做因变量 函数值全体组成的数集 W={y=f(x),∈D}称为函数的值域
1、函数的定义 记 作 ． 则总有确定的数值和它对应，则称 是 的函数， 集．如果对于每个数 ，变量 按照一定法 定义 设 和 是两个变量， 是一个给定的数 y f (x) y x x D y x y D = 叫做因变量． 数集 叫做这个函数的定义域， 叫做自变量， y D x { ( ), } 称为函数的值域. 函数值全体组成的数集 W = y y = f x x D
函数的分类 有「有理整函数多项式函数) 理函 代数(有理分函数(分式函数) 数 函 初等函 数 无理函数 函丿数 数 超越函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
函数的分类 函 数 初 等 函 数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代 数 函 数 超越函数 有 理 函 数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
2、函数的性质 (1)单值性与多值性 若对于每一个x∈D,仅有一个值y=f(x)与之对 应则称∫(x)为单值函数否则就是多值函数 (x-1)2+y2=1
(1) 单值性与多值性: 若对于每一个x D,仅有一个值y = f (x)与之对 应,则称 f (x)为单值函数,否则就是多值函数. x y o x y = e x y o ( 1) 1 2 2 x − + y = 2、函数的性质
(2)函数的奇偶性: 设D关于原点对称对于vx∈D,有 f(-x)=f(x)称f(x)为偶函数; f(-x)=-f(x)称f(x)为奇函数; y=x 0 偶函数 奇函数
(2) 函数的奇偶性: 偶函数 奇函数 设D关于原点对称,对于x D,有 f (−x) = f (x) 称f (x)为偶函数; f (−x) = − f (x) 称f (x)为奇函数; y o x x y o y = x 3 y = x
(3)函数的单调性 设函数f(x)的定义域为D,区间cD,如果对于区间上 任意两点x及x2,当x1f(x2),则称函数x)在区间上是单调递减的; 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y=x当x≤0时为减函数; 当x≥0时为增函数;
(3) 函数的单调性: 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上 任意两点 及 ，当 时，恒有： (1) ,则称函数 在区间I上是单调增加的； 或(2) , 则称函数 在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 1 x 2 x 1 2 x x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x f x f x f (x) f (x) x y o 2 y = x 当 x 0时为减函数; 当 x 0时为增函数;
(4)函数的有界性: 若XcD,M>0,vx∈X,有f(x)≤M成立, 则称函数f(x)在X上有界否则称无界 在(-∞,0)及(0,+0)上无界; y 在(-∞,-1及[1,+∞)上有界 10
( ) . . , 0, , ( ) , 则称函数 在 上有界 否则称无界 若 有 成立 f x X X D M x X f x M (4) 函数的有界性: 在(−,0)及(0,+)上无界; 在(−,−1]及[1,+)上有界. x y o x y 1 = − 1 1
(5)函数的周期性: 设函数fx)的定义域为D,如果存在一个不为零的 数,使得对于任一x∈D,有(x±D∈D.且fx+)=f( 恒成立,则称f(×)为周期函数/称为f(x)的周期、(通常 说周期函数的周期是指其最小正周期) T=1 y=x-x
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 ,有 .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通常 说周期函数的周期是指其最小正周期）. x D (x l) D (5) 函数的周期性: o y x 1 1 T = 1 y = x − [x]