数学建模讲义 分方程模型
数学建模讲义 微分方程模型
微分方程模型 0、简例 xxx 1、人口预报问题 2、传染病问题 3、作战模型 4、捕食问题 5、火箭发射问题 + 6、药物吸收、真假绘画作品鉴定、 交通管理/堵塞问题 ■■■■■■■■
微分方程模型 1、人口预报问题 3、作战模型 4、捕食问题 5、火箭发射问题 ……… 2、传染病问题 6、药物吸收、真假绘画作品鉴定、 交通管理/堵塞问题 0、简例
趣题 今下图是一个物体的顶部和前部视图 物体的侧视图??
趣题 v 下图是一个物体的顶部和前部视图 v 物体的侧视图？？
例1(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微 分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出,小球所受的合力为 gsin, 根据牛顿第二定律可得: ml0=-mg sin 6 从而得出两阶微分方程: 这是理想单摆应 满足的运动方程 0+sing=0 6(0)=0.6(0)=6 (a)是一个两阶非线性方程,不易求解.当0很小 时,sinO≈B,此时,可考察(a)的近似线性方程: Q n 图3
例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微 分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg sin 从而得出两阶微分方程： 0 sin 0 (0) 0, (0) g l （a） 这是理想单摆应 满足的运动方程 (a)是一个两阶非线性方程,不易求解.当θ很小 时,sinθ≈θ, 此时,可考察(a)的近似线性方程： M Q P mg l 图3-1
0+30=0 (a)的近似 6(0)=0.6(0)=6 方程 (b)的解为:O()=0coor 其中O= 当t=时,0(0)=0 故有/7z V142 由此即可得出 Q T=2丌 n 图3
0 0 (0) 0, (0) g l (b) 由此即可得出 2 g T l (b) 的解为: θ(t)= θ0cosωt g l 其中 当 时,θ(t)=0 4 T t 4 2 g T l 故有 M Q P mg l 图3-1 (a) 的近似 方程
鸽2场价格模型 对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之 间的关系市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格 称为(静态)均衡价格)也就是说,如果不考虑商品价格形成的动 态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实 际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的 应是随时间不断变化的动态过程.建立描述市场价格形成的动 态过程的数学模型。 假设在某一时刻t商品的价格为p(,它与该商品的均衡价 格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的 价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的 动态过程,假设价格p(4)的变化率 dp/dt与需求和供给之差成正 比,并记f(p)为需求函数,g()为供给函数,于是 =k/()-g(p)
例2 市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之 间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格 称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动 态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实 际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的, 应是随时间不断变化的动态过程. 建立描述市场价格形成的动 态过程的数学模型。 d d p k f p g p t 假设在某一时刻 t, 商品的价格为 p(t), 它与该商品的均衡价 格间有差别, 此时, 存在供需差, 此供需差促使价格变动. 对新的 价格, 又有新的供需差, 如此不断调节, 就构成市场价格形成的 动态过程, 假设价格p(t)的变化率dp/dt 与需求和供给之差成正 比, 并记 f(p) 为需求函数, g(p) 为供给函数, 于是
其中k为参数.一般我们假设需求与价格呈负线形关系,而 供给与价格呈正线性关系,故可设f(p)=-ap+a2,g(P)=bD+b2 则上式变为 k(a1+b1)p+k(a2-b2) d 其中a,a2b1,b2均为正常数,其通解为 D(2)=ce+a2-b2 a,+6, 其中c=p-p*为任意常数,可用初值条件确定
其中 k 为参数. 一般我们假设需求与价格呈负线形关系，而 供给与价格呈正线性关系，故可设 , 则上式变为 1 2 f ( p) a p a 1 2 g( p) b p b 1 1 2 2 d ( ) ( ) d p k a b p k a b t 其中 a1 , a2 ,b1 ,b2 均为正常数,其通解为 1 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) e k a b t a b p t c a b 其中 为任意常数，可用初值条件确定。 0 c p p *
令{→+,得p=mm=4-,这就是(静态 a,+b 均衡价格,显然它满足 f(p*)=g(p*) 即供需到达平衡。初始价格高于均衡价 格时,动态价格就要逐步降低,且单调趋近均 衡价格;初始价格低于均衡价格时,动态价格 就要逐步升高,单调趋近均衡价格.进一步还 可以分析出,若初始价格等于均衡价格,整个 动态价格应保持不变
令 ，得 ，这就是(静态) 均衡价格，显然它满足 ——即供需到达平衡。初始价格高于均衡价 格时, 动态价格就要逐步降低, 且单调趋近均 衡价格; 初始价格低于均衡价格时, 动态价格 就要逐步升高, 单调趋近均衡价格. 进一步还 可以分析出, 若初始价格等于均衡价格, 整个 动态价格应保持不变. t 2 2 1 1 * lim ( ) t a b p p t a b f ( p*) g( p*)
建模示例1如何预报人口的增长 Malthus模型与 Logistic模型 为了保持自然资料的合理开发与利用,人类必须保持并控 制生态平衡,甚至必须控制人类自身的增长。 这里针对单种群增长模型,简略分析一下这方面的问题。 一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究 大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值,但由于种群数 量一般较大,可将种群数量看作连续变量,甚 至允许它为可微变量,由此引起的误差将是十 分微小的,讨论其变化率,建立微分方程模型! 离散化为连续,方便研究
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控 制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。 一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究， 大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚 至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十 分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型! 离散化为连续，方便研究 建模示例1 如何预报人口的增长 ——Malthus模型与Logistic模型
背景 世界人口增长概况 年1625183019301960197419871999 人日(亿5102030405060 中国人口增长概况 年1908193319531964198219901995 人口(亿34.76710.111.312 研究人口变化规律 控制人口过快增长
背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 人口(亿) 3 4.7 6 7 10.1 11.3 12 研究人口变化规律 控制人口过快增长
