《概率论与数理统计》考试题(7) 标准答案 解:(1)不放回,=1,2,3,4 P{=l}= P{2=3} CC2C, 7 C3C2CIC7 1 CIoC9C8 120 P{=4} CloCoCsca 120 (2)放回,5=1,2 5=1} C7 Ci 10 CaC (C3)C P{2=3}= P{=i} (3)换入一件正品放回,=1,2,3,4 5=1} C,Co 2 Ci 10 100 PS=3-ClclC9 C10C10C1 P5=4}=Ccc; CIoCIOCIOC10 1000 解:先求X的分布列,Ⅹ的所有可能取值为0,1,2,由古典概型的概率 计算公式得:P(x=0)=C1 P(X=1) CaC P(X=2) C2C13 将(-0+∞)分为一0),[,1[1,2),[2,+∞四个区间得分布函数 由分布函数可得P(<X≤)=F(=)-F()=1 13 3535 三、解:由题设,有样本空间 g2={(1,1)(1,2),(1,3)(14),(2,1)(2,2).(2,3)(2,4),(3,1)(3,2)(3,3)(3,4) (4,1)(4,2)、(4,3)、(4,4)} 其中有6个基本事件(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) 是不合题意的,相应的概率为0,其余的概率由下式求出:
《概率论与数理统计》考试题（7） 标准答案 一、解：（1）不放回， =1，2，3，4 10 7 { 1} 1 10 1 7 C C P 30 7 { 2} 1 9 1 10 1 7 1 3 C C C C P 120 7 { 3} 1 8 1 9 1 10 1 7 1 2 1 3 C C C C C C P 120 1 { 4} 1 7 1 8 1 9 1 10 1 7 1 1 1 2 1 3 C C C C C C C C P (2)放回， 1,2, 10 7 { 1} 1 10 1 7 C C P 1 10 1 10 1 7 1 3 { 2} C C C C P 1 10 1 10 1 10 1 7 1 3 1 3 { 3} C C C C C C P i i C C P i 10 ( ) { } 1 7 1 1 3 （3）换入一件正品放回， =1，2，3，4 10 7 { 1} 1 10 1 7 C C P 100 24 { 2} 1 10 1 10 1 8 1 3 C C C C P 1000 54 { 3} 1 10 1 10 1 10 1 9 1 2 1 3 C C C C C C P 1000 6 { 4} 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 3 C C C C C C C C P 二、解：先求 X 的分布列，X 的所有可能取值为 0，1，2,由古典概型的概率 计算公式得： 35 22 ( 0) 3 15 3 13 C C P X ， 35 12 ( 1) 3 15 2 13 1 2 C C C P X 35 1 ( 2) 3 15 1 13 2 2 C C C P X 将 (,)分为(,0),[0,1),[1,2),[2,) 四个区间得分布函数. 由分布函数可得 35 13 35 22 ) 1 2 1 ) ( 2 5 ) ( 2 5 2 1 P( X F F 三、解：由题设，有样本空间 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)} 其中有 6 个基本事件（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4） 是不合题意的，相应的概率为 0，其余的概率由下式求出：
P(X=x,Y=y)=PX=iP(Y=jIX 于是(X,Y)的联合分布律为 ∑ l/41/81/121/1625/48 l/81/121/1613/48 30 0 l/121/167/48 01/163/48 ∑ 1/4 1/4 边际分布列上表已给出 四、解:E(X)=9(x)x=0(x)为偶函数,x(x)为奇函数) B(x2)=厂x(x)=xet+xbh +2)]0 所以D(X)=2 五、解:用X表示10000个新生儿中男孩的个数,则ⅹ-B(np),其中, n=10000p=0.515要求女孩数不少于男孩个数的概率,即求P{X≤5000由德 莫佛--拉普拉斯极限定理,有{X≤5000= p5000-p 令y=_m2NOD于是有 P(Xxs5000Pys-5001000515 √10000×0.515×0485 d(-3)=1-Φ(3)=0.00135 六、解:设X12X2,…,Xn是该总体的一个样本,(1)总体的一阶原点矩为 A1=E(X)= xP(r; 0)dx 0=2,样本一阶矩为A X=X 所以=X,b=2X (2)似然函数为L(x1,x2,…,xn,0)=,05S0 其他 这里无法通过求导数获得极大似然估计量,但是,因为每一个x都必须小于
i j i i P X x Y y P X i P Y j X i i j , 1,2,3,4; 1 4 1 { , } { } { | } 于是（X，Y）的联合分布律为 X Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 0 1/8 1/12 1/16 13/48 3 0 0 1/12 1/16 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 1/4 1/4 1/4 1/4 1 边际分布列上表已给出. 四、解： E(X) xf (x)dx 0 （f(x)为偶函数，xf(x)为奇函数） E X x f x dx x e dx x e dx x x 0 0 2 2 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) = [ ( 2 2)] 2 2 1 [ ( 2 2] 2 1 0 2 0 2 e x x e x x x x 所以 D（X）=2 五、解：用 X 表示 10000 个新生儿中男孩的个数，则 X~B(n,p),其中， n=10000,p=0.515.要求女孩数不少于男孩个数的概率，即求 P{X 5000}.由德 莫佛---拉普拉斯极限定理，有 npq np npq X np X 5000 { 5000} 令 ~ N(0,1) npq X np Y 于是有 ( 3) 1 (3) 0.00135 10000 0.515 0.485 5000 10000 0.515 { 5000} P X P Y 六、解：设 X X Xn , , , 1 2 是该总体的一个样本，（1）总体的一阶原点矩为 2 ( ) ( ; ) 0 0 1 dx x E X xp x dx ，样本一阶矩为 X X n A n i i 1 1 1 ， 所以 X 2 ， ˆ 2X . （2）似然函数为 0 其他 , 0 1 ( , , , ; ) 1 2 n i n x L x x x 这里无法通过求导数获得极大似然估计量，但是，因为每一个 i x 都必须小于
或等于,故知的取值范围从m(x}到正无穷大:另一方面,由于1随b的 增大而单调减小因此,当θ取它的左端点max{x}时,似然函数达到最大所以θ 的极大似然估计量为O=max{X1,X2…,Xn} 七、解:设导线电阻为X,X~N(A,a2),依题意 (1)统计假设为H:a=0.5,H1:σ>0.5 (1)选用统计量x2=-)S,当H1a=05成立时,x2服从自由度 为(n-1)=8的x2-分布。 (3)在a=0.05,H1为a>0.5下,拒绝域为拒绝域为[x2a(n-1)+∞),查 表得x2a0(8)=15507,即拒绝域为(15507,+∞) (4)计算统计量样本观测值, (n-1)S28×0.7 (5)作决策:因为x2的值落入拒绝域,从而拒绝H0,即可以认为这批导 线的标准差明显地偏大 八、切比雪夫不等式:对于任何具有有限方差的随机变量ξ,对任意的E>0, P{|5-Ee}≤ 证明:设ξ是一连续型随机变量,密度函数为p(x)则 Ps-ESREl p(x)dx≤ p(xdx Esle 8 ≤[1x- Es I P(x)dx=2
或等于 ，故知 的取值范围从 max{ } 1 i i n x 到正无穷大；另一方面，由于 n 1 随 的 增大而单调减小.因此，当 取它的左端点 max{ } 1 i i n x 时，似然函数达到最大.所以 的极大似然估计量为 max{ , , , } ˆ X1 X2 Xn 七、解：设导线电阻为 X，X~ ( , ) 2 N ，依题意 （1）统计假设为 H0 : 0.5, H1 : 0.5 （1） 选用统计量 2 2 2 ( 1) n S ，当 H0 : 0.5 成立时， 2 服从自由度 为(n-1)=8 的 2 -分布。 （3）在 0.05，H1 为 0.5 下，拒绝域为拒绝域为 [ ( 1), ) 2 n ，查 表得 0.05 (8) 15.507 2 ，即拒绝域为 (15.507,) （4）计算统计量样本观测值， 15.68 0.5 ( 1) 8 0.7 2 2 2 2 2 n S 。 （5）作决策：因为 2 的值落入拒绝域，从而拒绝 H0 ，即可以认为这批导 线的标准差明显地偏大。 八、切比雪夫不等式：对于任何具有有限方差的随机变量 ，对任意的 0， 有 2 {| | } D P E 证明：设 是一连续型随机变量，密度函数为 p(x),则 p x dx x E P E p x dx x E x E ( ) | | {| | } ( ) | | | | 2 2 2 2 2 | | ( ) 1 D x E p x dx
