《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）多元函数微分法及其应用

第八节 第九章 多元西数的值及其求店 多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法

多元函数的极值 定义设是一个mxn对称矩阵即an=an,j=12,n 12 A X n n2 X xAx=∑∑1x称为关于x,x2…x的一次型, 对称矩阵称为二次型的系数矩阵 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A x a a a x         = =             1 2 1 1 = , , n n ij i j n i j x Ax a x x x x x A = =    对 称为关于 的 ， 矩阵 称为 二次型 称 二次型的系数矩阵. 一、 多元函数的极值 A n n , a a ,i, j 1,2,...,n. 设 是一个  对称矩阵 即 ij = ji =

定义 不定矩阝 设4是一个mxn对称矩阵即an=an,i,=1,2…,n 如果对Wx∈R"1{0},都有 x'Ax>0,则称A为正定矩阵 xAx≥0,则称4为半正定矩阵 x'Ax<0,则称A为负定矩阵 x'Ax≤0,则称A为半负定矩阵 不是上面之一,则称为不定矩阵 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义A n n , a a ,i, j 1,2,...,n. 设 是一个  对称矩阵 即 ij = ji = \ 0 ,   n 如果对 都有  x R x'Ax  0, 则称A为正定矩阵. x'Ax  0, 则称A为半正定矩阵. x'Ax  0, 则称A为负定矩阵. x'Ax  0, 则称A为半负定矩阵. 不是上面之一 则称为不定矩阵 , . (正定、负定、不定矩阵)

定理设4是一个xm对称矩阵 A正定所有顺序主子式大于0 所有特征值大于0 (即特征方程|AE-A=0的根大于0) 顺序主子式 以2×2矩阵为例:A 12 21 22 A正定a1>0 >0 21 22 A半正定兮m1≥0 ≥0 21 22 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 A正定 所有顺序主子式大于  0 以22矩阵为例:       = 21 22 11 12 a a a a A 0, A正定  a11  0, A半正定  a11  设A是一个nn对称矩阵, 0. 21 22 11 12  a a a a 0. 21 22 11 12  a a a a 定理 11 12 1 21 22 2 1 2 k k k k kk a a a a a a a a a k 阶顺序主子式 0 .  所有特征值大于 (即特征方程 的根大于0) | - | 0 E A =

A负定兮-A正定 兮410 21 2 A半负定-A伴半正定 设A 22 A不定兮a142-2<0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 A负定 −A正定, A半负定 −A半正定. , 21 22 11 12       = a a a a 设 A 0. 2 A不定  a11a22 − a12  11   a 0, 0. 21 22 11 12  a a a a

引理设是nXn正定对称矩阵,Q(x)=x'Ax是 相应二次型则存在常数a>0,使得 Qx)≥o Vx∈Rn 证:记单位球面S={x∈R"|= 易见S是R中的有界闭集 连续函数Q(x)在S上取到最小值.即存在n∈R",使得 o(n)=ming(x)=o 因为Q正定,n≠0,故a=Q(7)>0 Mx∈R",x≠0,有∈S,进而Q x 20,即Q(x)≥x 当x=0时显然.故得证 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2 ( ) ' , 0, ( ) . n A n n Q x x Ax Q x x x R    =     引理 设 是 正定对称矩阵， 是 相应二次型 则存在常数 使得 ，  | 1 .  n 证：记单位球面S x R x =  = n 易见 是 中的有界闭集. S R 连续函数 在 上取到最小值 Q x S ( ) . , n 即存在 使得  R ( ) min . ( ) x S Q Q x    = = 因为 正定， ，故 Q Q     =  0 0. ( ) , 0, , n x x R x S x     有 , x Q x           进而 2 即Q x x ( ) .  当 时显然 故得证. x = 0

定义:若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有 f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(xo,y0) 则称函数在该点取得极大值极小值)极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点 例如 z=3x2+4y2在点(00)有极小值 x2+y2在点0极大值 z=xy在点(0,0)无极值 ⊙。8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O x y z O x z O y (极小值)

例1已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 f(x, y)-xy m 则(A) x->0 (4)点(0.0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(00)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(xy)的极小值点 (D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x)的极值点 2003考研 提示由题设(xy)xy=1+a,其中ma=0 x->0 0 →f(x,y)=xy+(x2+y2)2+a(x2+y2)2 →在(0的邻近f(x,y)的正负由xy确定 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研)

定理1(必要条件)函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在 偏导数,且在该点取得极值,则有 (x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 证:因z=f(x,y)在点(x0,y3)取得极值,故 z=f(x2y0)在x=x0取得极值 z=f(x0,y)在y=y取得极值 据元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明:使偏导数都为0的点称为驻点(稳定点) 但驻点不一定是极值点 例如,z=xy有驻点(0,0),但在该点不取极值 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点(稳定点) . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x  x0 y0 = f y  x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故

定义( Hesse矩阵) 设函数乙=f(x,y)在点P0(x0,y)的某邻域U(P)内 有一阶及二阶连续偏导数,记 A=f(x0,y0)B=f2(x0,y),C=J(x0,y) A B 并记B,()=|Bc 称为 Hesse矩阵 元函数)在P的Hes矩阵 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 设函数 z = f (x, y)在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域 ( ) U P0 内 有一阶及二阶连续偏导数，记 ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = xy = yy 0 ( ) f A B H P B C   =     并记称为 矩阵 Hesse 定义 (Hesse矩阵) 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 0 ( ) ( ) n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x P f f f f f f H P f f f f n P Hesse =       =         元函数 在 的 矩阵