无穷小的比较 例如,当x→>Q时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 观 勿十 0 x→03x x比3x要快得多 察各极限 SIn x sinx与x大致相同; X sn lim 型) 2= lim sin不存在.不可比 x→0 →)0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0
定义:设a,B是同一过程中的两个无小且≠0. (1)如果im2=0,就说β是比a高阶的无穷小, 记作β=0(x); (2)如果lim=∞,就说B是比a低阶的无穷小 (3)如果lmp=C≠0,就说β与a是同阶的无穷小 特殊地,如果IimP=1,则称β与a是等价的无穷小; 记作a~β;
记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 , = = o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) 如果 lim = 0,就说 与 是同阶的无穷小; C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说 是比 低阶的无穷小． ( ) lim
(4)如果im=C≠0,k>0就说β是a的k阶的 无穷小 例如, m x→)03x 即x2=0(3x)(x→0) 当x→0时,x2是比3x高阶的无穷小; SIn m x->0x 即sinx~x(x→>0) 当x→0时,sinx与x是等价无穷小
. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C k 就说 是 的 k 阶的 0， 3 lim 2 0 = → x x x 1， sin lim 0 = → x x x 0 3 ; 当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如
例1证明:当x→Q时,tanx-sinx为x的三阶无穷小 tanx- sin x 解∵lim x→0 1 sinx 1-cos x lim( x-0 cosx x limSⅧ 1-cosx 1 =lim x→0c0Sxx->0xx>0r 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小
例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − = → → →
定理1β与a是等价无穷小的的充分必要条件 为β=a+0(a)称a是β的主要部分 证必要性设a~β, in =limP-1=0, c β-a=0(x),即β=a+0(a) 充分性设β=a+0(a) limP= lim a+o(a) 0(c = lim (1+ aβ c c
为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件 = + ( ). 1 o 证 必要性 设 ~ ， lim lim − 1 = − = 0， − = o()，即 = + o()． 充分性 设 = + o()． + = ( ) lim lim o （１＋ ） = ( ) lim o = 1， ~ ．
意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达 式 例如,当x→0时,sinx~x,1- Cost=x sin x=x+o(x) y=:r 1-c0sx=x2+0(x2) y=1+cosx 常用等价无穷小当x→Q时, x-tanx arcsin x arctan x In(1+x) xce cosxcx3,(1+x)-1-ax(a+0)
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达 式． 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 当x → 0时, y = 1 − cos x 2 2 1 y = x 常用等价无穷小: 当x → 0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2 − − + − + x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x − x x
例2求加me-1~x x->0 解令ex-1=L,即x=lm(1+u) 则当x→0时,有u→0, e ∴Iim =lim M=m x→>0 n→In(1+l) n(1+ ne limIn(1+u)" →>0 即,当x→0时,x~ln(1+x),x~ex-1
例２解 ln(1 ) lim 1 lim0 0 u u x e u x x + = − → → . 1 lim0 x e x x − → 求 e 1 u, x 令 − = 即 x = ln( 1 + u), 则当 x → 0时,有 u → 0, u u u 1 0 ln( 1 ) 1 lim + = → u u u 1 0 limln( 1 ) 1 + = → ln e 1 = = 1 . → 0 ~ ln(1 + ), ~ − 1. x 即，当 x 时，x x x e
等价无穷小代换 定理2(等价无穷小代换定理) 设a~aB~且lm存在则im5=hm2 c c 证imB=lm.B.) CC ββ c c c c
二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存 在 则 证 lim lim( ) = = lim lim lim lim . =
例3求lm tan 2x x-01-cosx 解当x→0时,1-c0sx~x2,tan2x~2x. (2x) 原式=出1 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换,而不会改变原式的极限
例３ . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
例4求lm (x+i)sinx x→>0 arcsin x 解当x→Q时,sinx~x, arcsin x~x 原式=lim (x+1) =lim(x+1)=1 x→0 0 注意不能滥用等价无穷小代换 切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换, 对于代数和中各无穷小不能分别代换
不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例４ . arcsin ( 1)sin lim 0 x x x x + → 求 解 当x → 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x. x x x x ( 1) lim 0 + = → 原式 lim( 1) = 1. 0 = + → x x